Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 3, высота призмы равна 2. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Показать ответ
б) 22
Решение
Плоскость α проходит через A1 и C1 (она параллельна BD1 и содержит K), поэтому сечение — треугольник A1C1K. Его боковые стороны A1K = C1K = √(AB2 + BK2) = 8, основание A1C1 = AB·√2 = 6. Периметр равен 22.
Пример 2
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 8, высота призмы равна 2. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Показать ответ
б) 42
Решение
Плоскость α проходит через A1 и C1 (она параллельна BD1 и содержит K), поэтому сечение — треугольник A1C1K. Его боковые стороны A1K = C1K = √(AB2 + BK2) = 13, основание A1C1 = AB·√2 = 16. Периметр равен 42.
Пример 3
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 5, высота призмы равна 10. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Показать ответ
б) 30
Решение
Плоскость α проходит через A1 и C1 (она параллельна BD1 и содержит K), поэтому сечение — треугольник A1C1K. Его боковые стороны A1K = C1K = √(AB2 + BK2) = 10, основание A1C1 = AB·√2 = 10. Периметр равен 30.
Пример 4
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 2, высота призмы равна 4. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Показать ответ
б) 12
Решение
Плоскость α проходит через A1 и C1 (она параллельна BD1 и содержит K), поэтому сечение — треугольник A1C1K. Его боковые стороны A1K = C1K = √(AB2 + BK2) = 4, основание A1C1 = AB·√2 = 4. Периметр равен 12.
Пример 5
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 2, высота призмы равна 2. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Показать ответ
б) 14
Решение
Плоскость α проходит через A1 и C1 (она параллельна BD1 и содержит K), поэтому сечение — треугольник A1C1K. Его боковые стороны A1K = C1K = √(AB2 + BK2) = 5, основание A1C1 = AB·√2 = 4. Периметр равен 14.
Другие темы задания №15
1Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC2Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб3Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей4Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник5Треугольная призма: сечение — пятиугольник6Плоскость EFT через D₁: площадь сечения7Призма: α через BC₁ ∥ AB₁8Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения9Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)10α через K и B ∥ AC: площадь сечения11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.