α через K и B ∥ AC: площадь сечения — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 отмечена точка K, причём AK : KA1 = 1 : 2. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 6, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 6, AA1 = 10.
Показать ответ
б) 4√131
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 6; 0) плоскость α пересекает DD1 на высоте 2·AA1/3. Сечение — четырёхугольник, его площадь равна 4√131.
Пример 2
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 отмечена точка K, причём AK : KA1 = 1 : 3. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что точка M — середина ребра DD1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 9, AA1 = 9.
а) Докажите, что точка M — середина ребра DD1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 9, AA1 = 9.
Показать ответ
б) 243√2/4
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(9; 0; 0), D(0; 9; 0) плоскость α пересекает DD1 на высоте 2·AA1/4. Сечение — четырёхугольник, его площадь равна 243√2/4.
Пример 3
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 отмечена точка K, причём AK : KA1 = 1 : 5. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 1 : 2.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 8, AA1 = 4.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 1 : 2.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 8, AA1 = 4.
Показать ответ
б) 16√146/3
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 8; 0) плоскость α пересекает DD1 на высоте 2·AA1/6. Сечение — четырёхугольник, его площадь равна 16√146/3.
Пример 4
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 отмечена точка K, причём AK : KA1 = 1 : 3. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что точка M — середина ребра DD1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 8, AA1 = 2.
а) Докажите, что точка M — середина ребра DD1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 8, AA1 = 2.
Показать ответ
б) 4√258
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 8; 0) плоскость α пересекает DD1 на высоте 2·AA1/4. Сечение — четырёхугольник, его площадь равна 4√258.
Пример 5
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 отмечена точка K, причём AK : KA1 = 1 : 2. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 11, AA1 = 9.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB = 11, AA1 = 9.
Показать ответ
б) 11√139
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(11; 0; 0), D(0; 11; 0) плоскость α пересекает DD1 на высоте 2·AA1/3. Сечение — четырёхугольник, его площадь равна 11√139.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.