α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 28 и BD = 10, а боковое ребро параллелепипеда равно 8.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 28 и BD = 10, а боковое ребро параллелепипеда равно 8.
Показать ответ
б) 10√65
Решение
Плоскость α проходит через B, A1 и D (так как BD ∥ … ), сечение — треугольник A1BD. Его площадь равна 10√65.
Пример 2
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 28 и BD = 20, а боковое ребро параллелепипеда равно 8.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 28 и BD = 20, а боковое ребро параллелепипеда равно 8.
Показать ответ
б) 20√65
Решение
Плоскость α проходит через B, A1 и D (так как BD ∥ … ), сечение — треугольник A1BD. Его площадь равна 20√65.
Пример 3
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 16 и BD = 22, а боковое ребро параллелепипеда равно 2.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 16 и BD = 22, а боковое ребро параллелепипеда равно 2.
Показать ответ
б) 22√17
Решение
Плоскость α проходит через B, A1 и D (так как BD ∥ … ), сечение — треугольник A1BD. Его площадь равна 22√17.
Пример 4
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 16 и BD = 22, а боковое ребро параллелепипеда равно 4.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 16 и BD = 22, а боковое ребро параллелепипеда равно 4.
Показать ответ
б) 44√5
Решение
Плоскость α проходит через B, A1 и D (так как BD ∥ … ), сечение — треугольник A1BD. Его площадь равна 44√5.
Пример 5
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 20 и BD = 24, а боковое ребро параллелепипеда равно 11.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 2 : 1, считая от вершины C1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 20 и BD = 24, а боковое ребро параллелепипеда равно 11.
Показать ответ
б) 12√221
Решение
Плоскость α проходит через B, A1 и D (так как BD ∥ … ), сечение — треугольник A1BD. Его площадь равна 12√221.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.