Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 12, боковые рёбра равны 13.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
Показать ответ
б) 126
Решение
Плоскость пересекает основание по средней линии MN треугольника ABC (M — середина BC, N — середина AC), поэтому сечение — трапеция A1B1MN с основаниями A1B1 = 12 и MN = 6. Её высота равна √(3a2/16 + h2) = 14, площадь = (12 + 6)/2 · 14 = 126.
Пример 2
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 16, боковые рёбра равны 11.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
Показать ответ
б) 156
Решение
Плоскость пересекает основание по средней линии MN треугольника ABC (M — середина BC, N — середина AC), поэтому сечение — трапеция A1B1MN с основаниями A1B1 = 16 и MN = 8. Её высота равна √(3a2/16 + h2) = 13, площадь = (16 + 8)/2 · 13 = 156.
Пример 3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 16, боковые рёбра равны 4.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
Показать ответ
б) 96
Решение
Плоскость пересекает основание по средней линии MN треугольника ABC (M — середина BC, N — середина AC), поэтому сечение — трапеция A1B1MN с основаниями A1B1 = 16 и MN = 8. Её высота равна √(3a2/16 + h2) = 8, площадь = (16 + 8)/2 · 8 = 96.
Пример 4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 28, боковые рёбра равны 23.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
Показать ответ
б) 546
Решение
Плоскость пересекает основание по средней линии MN треугольника ABC (M — середина BC, N — середина AC), поэтому сечение — трапеция A1B1MN с основаниями A1B1 = 28 и MN = 14. Её высота равна √(3a2/16 + h2) = 26, площадь = (28 + 14)/2 · 26 = 546.
Пример 5
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 32, боковые рёбра равны 22.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, B1 и середину ребра BC, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра BC.
Показать ответ
б) 624
Решение
Плоскость пересекает основание по средней линии MN треугольника ABC (M — середина BC, N — середина AC), поэтому сечение — трапеция A1B1MN с основаниями A1B1 = 32 и MN = 16. Её высота равна √(3a2/16 + h2) = 26, площадь = (32 + 16)/2 · 26 = 624.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб3Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей4Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник5Треугольная призма: сечение — пятиугольник6Плоскость EFT через D₁: площадь сечения7Призма: α через BC₁ ∥ AB₁8Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения9Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)10α через K и B ∥ AC: площадь сечения11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.