Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 11, а боковое ребро AA1 равно 3. На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 210
Решение
Отрезки MN и NK равны и перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Плоскость MNK пересекает ещё и боковые рёбра AA1 и CC1, так что сечение — шестиугольник; его площадь равна 210.
Пример 2
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 7, а боковое ребро AA1 равно . На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 78
Решение
Отрезки MN и NK равны и перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Плоскость MNK пересекает ещё и боковые рёбра AA1 и CC1, так что сечение — шестиугольник; его площадь равна 78.
Пример 3
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 5, а боковое ребро AA1 равно . На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 36
Решение
Отрезки MN и NK равны и перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Плоскость MNK пересекает ещё и боковые рёбра AA1 и CC1, так что сечение — шестиугольник; его площадь равна 36.
Пример 4
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA1 равно . На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 10
Решение
Отрезки MN и NK равны и перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Плоскость MNK пересекает ещё и боковые рёбра AA1 и CC1, так что сечение — шестиугольник; его площадь равна 10.
Пример 5
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4. На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 55
Решение
Отрезки MN и NK равны и перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Плоскость MNK пересекает ещё и боковые рёбра AA1 и CC1, так что сечение — шестиугольник; его площадь равна 55.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Треугольная призма: сечение — пятиугольник6Плоскость EFT через D₁: площадь сечения7Призма: α через BC₁ ∥ AB₁8Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения9Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)10α через K и B ∥ AC: площадь сечения11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.