Плоскость EFT через D₁: площадь сечения — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 7, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 8, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4, AD = 12, AA1 = 18.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Показать ответ
б) 6√89
Решение
Введём координаты A(0; 0; 0), B(AB; 0; 0), D(0; AD; 0), AA1 вверх. Тогда E, F и T компланарны с D1 ровно при (1 − e)(1 − t) = f − e, где e = AE/AA1, f = BF/BB1, t = B1T/B1C1; здесь t = ½, и равенство выполняется. Сечение — четырёхугольник EFTD1… его площадь равна 6√89.
Пример 2
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 7, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 2, AD = 20, AA1 = 20.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Показать ответ
б) 6√293
Решение
Введём координаты A(0; 0; 0), B(AB; 0; 0), D(0; AD; 0), AA1 вверх. Тогда E, F и T компланарны с D1 ровно при (1 − e)(1 − t) = f − e, где e = AE/AA1, f = BF/BB1, t = B1T/B1C1; здесь t = ½, и равенство выполняется. Сечение — четырёхугольник EFTD1… его площадь равна 6√293.
Пример 3
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 8 : 11, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 4 : 15, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 3, AD = 27, AA1 = 38.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Показать ответ
б) 63√146/4
Решение
Введём координаты A(0; 0; 0), B(AB; 0; 0), D(0; AD; 0), AA1 вверх. Тогда E, F и T компланарны с D1 ровно при (1 − e)(1 − t) = f − e, где e = AE/AA1, f = BF/BB1, t = B1T/B1C1; здесь t = ½, и равенство выполняется. Сечение — четырёхугольник EFTD1… его площадь равна 63√146/4.
Пример 4
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 4 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 2 : 5, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 3, AD = 16, AA1 = 21.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Показать ответ
б) 9√114
Решение
Введём координаты A(0; 0; 0), B(AB; 0; 0), D(0; AD; 0), AA1 вверх. Тогда E, F и T компланарны с D1 ровно при (1 − e)(1 − t) = f − e, где e = AE/AA1, f = BF/BB1, t = B1T/B1C1; здесь t = ½, и равенство выполняется. Сечение — четырёхугольник EFTD1… его площадь равна 9√114.
Пример 5
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 10 : 9, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 14, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 7, AD = 20, AA1 = 38.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Показать ответ
б) 30√74
Решение
Введём координаты A(0; 0; 0), B(AB; 0; 0), D(0; AD; 0), AA1 вверх. Тогда E, F и T компланарны с D1 ровно при (1 − e)(1 − t) = f − e, где e = AE/AA1, f = BF/BB1, t = B1T/B1C1; здесь t = ½, и равенство выполняется. Сечение — четырёхугольник EFTD1… его площадь равна 30√74.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Призма: α через BC₁ ∥ AB₁8Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения9Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)10α через K и B ∥ AC: площадь сечения11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.