Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая рёбра BB1 и DD1 в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 6, BC = 3, AA1 = 9.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 6, BC = 3, AA1 = 9.
Показать ответ
б) 9√21
Решение
Диагонали AC1 и FE параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BF + DE = AA1. Из равенства AF = AE получаем AB2 + BF2 = AD2 + DE2, откуда DE = 6, BF = 3. У ромба площадь равна половине произведения диагоналей: S = ½ · AC1 · FE = 9√21.
Пример 2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая рёбра BB1 и DD1 в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 5, BC = 3, AA1 = 8.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 5, BC = 3, AA1 = 8.
Показать ответ
б) 7√19
Решение
Диагонали AC1 и FE параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BF + DE = AA1. Из равенства AF = AE получаем AB2 + BF2 = AD2 + DE2, откуда DE = 5, BF = 3. У ромба площадь равна половине произведения диагоналей: S = ½ · AC1 · FE = 7√19.
Пример 3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая рёбра BB1 и DD1 в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 3, BC = 1, AA1 = 4.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 3, BC = 1, AA1 = 4.
Показать ответ
б) √91
Решение
Диагонали AC1 и FE параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BF + DE = AA1. Из равенства AF = AE получаем AB2 + BF2 = AD2 + DE2, откуда DE = 3, BF = 1. У ромба площадь равна половине произведения диагоналей: S = ½ · AC1 · FE = √91.
Пример 4
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая рёбра BB1 и DD1 в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 5, BC = 3, AA1 = 4.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 5, BC = 3, AA1 = 4.
Показать ответ
б) 25
Решение
Диагонали AC1 и FE параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BF + DE = AA1. Из равенства AF = AE получаем AB2 + BF2 = AD2 + DE2, откуда DE = 4, BF = 0. У ромба площадь равна половине произведения диагоналей: S = ½ · AC1 · FE = 25.
Пример 5
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая рёбра BB1 и DD1 в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 4, BC = 2, AA1 = 6.
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 4, BC = 2, AA1 = 6.
Показать ответ
б) 4√21
Решение
Диагонали AC1 и FE параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BF + DE = AA1. Из равенства AF = AE получаем AB2 + BF2 = AD2 + DE2, откуда DE = 4, BF = 2. У ромба площадь равна половине произведения диагоналей: S = ½ · AC1 · FE = 4√21.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей4Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник5Треугольная призма: сечение — пятиугольник6Плоскость EFT через D₁: площадь сечения7Призма: α через BC₁ ∥ AB₁8Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения9Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)10α через K и B ∥ AC: площадь сечения11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.