Треугольная призма: сечение — пятиугольник — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 15, а боковое ребро AA1 равно 5. На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 5.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 375/4
Решение
Отрезки MN, NK, KL и LM равны 5√3 и попарно перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Сечение призмы — пятиугольник, его площадь равна 375/4.
Пример 2
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA1 равно . На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 1.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 15/4
Решение
Отрезки MN, NK, KL и LM равны √3 и попарно перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Сечение призмы — пятиугольник, его площадь равна 15/4.
Пример 3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 9, а боковое ребро AA1 равно 3. На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 3.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 135/4
Решение
Отрезки MN, NK, KL и LM равны 3√3 и попарно перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Сечение призмы — пятиугольник, его площадь равна 135/4.
Пример 4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 18, а боковое ребро AA1 равно 6. На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 6.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 135
Решение
Отрезки MN, NK, KL и LM равны 6√3 и попарно перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Сечение призмы — пятиугольник, его площадь равна 135.
Пример 5
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2. На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 2.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Докажите, что L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC, и MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Показать ответ
б) 15
Решение
Отрезки MN, NK, KL и LM равны 2√3 и попарно перпендикулярны, поэтому MNKL — квадрат. Сечение призмы — пятиугольник, его площадь равна 15.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Плоскость EFT через D₁: площадь сечения7Призма: α через BC₁ ∥ AB₁8Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения9Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)10α через K и B ∥ AC: площадь сечения11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.