γ ⊥ A₁C: расстояние от B — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние от точки до плоскости. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 9, а боковое ребро AA1 равно 3√7. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = 1, C1L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
Показать ответ
б) 3/5
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(9; 0; 0), D(0; 9; 0) нормаль плоскости γ пропорциональна (−AA1; −AA1; AB − BK − C1L), и она коллинеарна вектору A1C ровно при AB·(AB − BK − C1L) = AA12, что здесь выполнено. Расстояние от B до γ равно 3/5.
Пример 2
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 4√3. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = 5, C1L = 3. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
Показать ответ
б) 5√21/7
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), D(0; 12; 0) нормаль плоскости γ пропорциональна (−AA1; −AA1; AB − BK − C1L), и она коллинеарна вектору A1C ровно при AB·(AB − BK − C1L) = AA12, что здесь выполнено. Расстояние от B до γ равно 5√21/7.
Пример 3
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 9, а боковое ребро AA1 равно 3√2. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = 2, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
Показать ответ
б) 3√5/5
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(9; 0; 0), D(0; 9; 0) нормаль плоскости γ пропорциональна (−AA1; −AA1; AB − BK − C1L), и она коллинеарна вектору A1C ровно при AB·(AB − BK − C1L) = AA12, что здесь выполнено. Расстояние от B до γ равно 3√5/5.
Пример 4
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 7, а боковое ребро AA1 равно √7. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = 5, C1L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
Показать ответ
б) √105/3
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(7; 0; 0), D(0; 7; 0) нормаль плоскости γ пропорциональна (−AA1; −AA1; AB − BK − C1L), и она коллинеарна вектору A1C ровно при AB·(AB − BK − C1L) = AA12, что здесь выполнено. Расстояние от B до γ равно √105/3.
Пример 5
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 13, а боковое ребро AA1 равно 2√13. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = 5, C1L = 4. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
Показать ответ
б) √390/6
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(13; 0; 0), D(0; 13; 0) нормаль плоскости γ пропорциональна (−AA1; −AA1; AB − BK − C1L), и она коллинеарна вектору A1C ровно при AB·(AB − BK − C1L) = AA12, что здесь выполнено. Расстояние от B до γ равно √390/6.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.