γ ∥ BC через точку апофемы: объём отсечённой пирамиды — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 6, высота SO = 4. На апофеме ST грани BSC отмечена точка K так, что SK = 4. Плоскость γ параллельна прямой BC и содержит точки K и A.
а) Докажите, что расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки C до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка B, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
а) Докажите, что расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки C до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка B, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
Показать ответ
б) 216/25
Решение
Апофема равна √(42 + 9) = 5. Плоскость γ параллельна BC, поэтому она одинаково удалена от B и C. Сечение — четырёхугольник, и объём пирамиды с вершиной B равен 216/25.
Пример 2
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 24, высота SO = 9. На апофеме ST грани BSC отмечена точка K так, что SK = 5. Плоскость γ параллельна прямой BC и содержит точки K и D.
а) Докажите, что расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки B до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка C, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
а) Докажите, что расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки B до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка C, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
Показать ответ
б) 768
Решение
Апофема равна √(92 + 144) = 15. Плоскость γ параллельна BC, поэтому она одинаково удалена от B и C. Сечение — четырёхугольник, и объём пирамиды с вершиной C равен 768.
Пример 3
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 32, высота SO = 12. На апофеме ST грани BSC отмечена точка K так, что SK = 18. Плоскость γ параллельна прямой BC и содержит точки K и D.
а) Докажите, что расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки B до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка C, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
а) Докажите, что расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки B до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка C, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
Показать ответ
б) 9728/25
Решение
Апофема равна √(122 + 256) = 20. Плоскость γ параллельна BC, поэтому она одинаково удалена от B и C. Сечение — четырёхугольник, и объём пирамиды с вершиной C равен 9728/25.
Пример 4
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 6, высота SO = 4. На апофеме ST грани BSC отмечена точка K так, что SK = 1. Плоскость γ параллельна прямой BC и содержит точки K и A.
а) Докажите, что расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки C до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка B, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
а) Докажите, что расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки C до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка B, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
Показать ответ
б) 576/25
Решение
Апофема равна √(42 + 9) = 5. Плоскость γ параллельна BC, поэтому она одинаково удалена от B и C. Сечение — четырёхугольник, и объём пирамиды с вершиной B равен 576/25.
Пример 5
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 12, высота SO = 8. На апофеме ST грани BSC отмечена точка K так, что SK = 2. Плоскость γ параллельна прямой BC и содержит точки K и A.
а) Докажите, что расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки C до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка B, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
а) Докажите, что расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки C до плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка B, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
Показать ответ
б) 4608/25
Решение
Апофема равна √(82 + 36) = 10. Плоскость γ параллельна BC, поэтому она одинаково удалена от B и C. Сечение — четырёхугольник, и объём пирамиды с вершиной B равен 4608/25.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.