Цилиндр, ∠ACB = 45°: боковая поверхность — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Поверхность тела вращения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB = 45°, AB = CC1 = 8.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Показать ответ
б) 64π√2
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой, и при ∠ACB = 45° имеем BC = AB = 8, AC = 8√2. Проекция BC1 на плоскость основания — отрезок BC, и cos угла между BC1 и AC равен BC·cos45° / √(BC2 + CC12) = ½. Площадь боковой поверхности равна π·AC·CC1 = 64π√2.
Пример 2
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB = 45°, AB = CC1 = 12.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Показать ответ
б) 144π√2
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой, и при ∠ACB = 45° имеем BC = AB = 12, AC = 12√2. Проекция BC1 на плоскость основания — отрезок BC, и cos угла между BC1 и AC равен BC·cos45° / √(BC2 + CC12) = ½. Площадь боковой поверхности равна π·AC·CC1 = 144π√2.
Пример 3
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB = 45°, AB = CC1 = 3.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Показать ответ
б) 9π√2
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой, и при ∠ACB = 45° имеем BC = AB = 3, AC = 3√2. Проекция BC1 на плоскость основания — отрезок BC, и cos угла между BC1 и AC равен BC·cos45° / √(BC2 + CC12) = ½. Площадь боковой поверхности равна π·AC·CC1 = 9π√2.
Пример 4
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB = 45°, AB = CC1 = 10.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Показать ответ
б) 100π√2
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой, и при ∠ACB = 45° имеем BC = AB = 10, AC = 10√2. Проекция BC1 на плоскость основания — отрезок BC, и cos угла между BC1 и AC равен BC·cos45° / √(BC2 + CC12) = ½. Площадь боковой поверхности равна π·AC·CC1 = 100π√2.
Пример 5
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB = 45°, AB = CC1 = 11.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
а) Докажите, что угол между прямыми BC1 и AC равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Показать ответ
б) 121π√2
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой, и при ∠ACB = 45° имеем BC = AB = 11, AC = 11√2. Проекция BC1 на плоскость основания — отрезок BC, и cos угла между BC1 и AC равен BC·cos45° / √(BC2 + CC12) = ½. Площадь боковой поверхности равна π·AC·CC1 = 121π√2.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.