Цилиндр: площадь ABA₁B₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Точки O и O1 — центры верхнего и нижнего оснований цилиндра, точка K — середина отрезка OO1. На окружности верхнего основания взяты точки A и B, не лежащие на диаметре, и на окружности нижнего основания — точки A1 и B1, симметричные точкам A и B соответственно относительно точки K.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 9, AB = 15, а высота цилиндра равна 19.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 9, AB = 15, а высота цилиндра равна 19.
Показать ответ
б) 30√115
Решение
Центральная симметрия относительно K переводит A в A1, B в B1, поэтому AB1 ∥ BA1 и ABA1B1 — параллелограмм. Расстояние от K до AB равно √(R2 − AB2/4) = 3√11/2, и площадь равна 30√115.
Пример 2
Точки O и O1 — центры верхнего и нижнего оснований цилиндра, точка K — середина отрезка OO1. На окружности верхнего основания взяты точки A и B, не лежащие на диаметре, и на окружности нижнего основания — точки A1 и B1, симметричные точкам A и B соответственно относительно точки K.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 11, AB = 15, а высота цилиндра равна 15.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 11, AB = 15, а высота цилиндра равна 15.
Показать ответ
б) 330
Решение
Центральная симметрия относительно K переводит A в A1, B в B1, поэтому AB1 ∥ BA1 и ABA1B1 — параллелограмм. Расстояние от K до AB равно √(R2 − AB2/4) = √259/2, и площадь равна 330.
Пример 3
Точки O и O1 — центры верхнего и нижнего оснований цилиндра, точка K — середина отрезка OO1. На окружности верхнего основания взяты точки A и B, не лежащие на диаметре, и на окружности нижнего основания — точки A1 и B1, симметричные точкам A и B соответственно относительно точки K.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 8, AB = 11, а высота цилиндра равна 4.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 8, AB = 11, а высота цилиндра равна 4.
Показать ответ
б) 11√151
Решение
Центральная симметрия относительно K переводит A в A1, B в B1, поэтому AB1 ∥ BA1 и ABA1B1 — параллелограмм. Расстояние от K до AB равно √(R2 − AB2/4) = 3√15/2, и площадь равна 11√151.
Пример 4
Точки O и O1 — центры верхнего и нижнего оснований цилиндра, точка K — середина отрезка OO1. На окружности верхнего основания взяты точки A и B, не лежащие на диаметре, и на окружности нижнего основания — точки A1 и B1, симметричные точкам A и B соответственно относительно точки K.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 3, AB = 5, а высота цилиндра равна 8.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 3, AB = 5, а высота цилиндра равна 8.
Показать ответ
б) 25√3
Решение
Центральная симметрия относительно K переводит A в A1, B в B1, поэтому AB1 ∥ BA1 и ABA1B1 — параллелограмм. Расстояние от K до AB равно √(R2 − AB2/4) = √11/2, и площадь равна 25√3.
Пример 5
Точки O и O1 — центры верхнего и нижнего оснований цилиндра, точка K — середина отрезка OO1. На окружности верхнего основания взяты точки A и B, не лежащие на диаметре, и на окружности нижнего основания — точки A1 и B1, симметричные точкам A и B соответственно относительно точки K.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 5, AB = 7, а высота цилиндра равна 10.
а) Докажите, что прямые AB1 и BA1 параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если радиус основания равен 5, AB = 7, а высота цилиндра равна 10.
Показать ответ
б) 7√151
Решение
Центральная симметрия относительно K переводит A в A1, B в B1, поэтому AB1 ∥ BA1 и ABA1B1 — параллелограмм. Расстояние от K до AB равно √(R2 − AB2/4) = √51/2, и площадь равна 7√151.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.