Цилиндр: угол между BB₁ и AC₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между прямыми. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 12, BB1 = 11, B1C1 = 16.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 12, BB1 = 11, B1C1 = 16.
Показать ответ
б) arctg (20/11)
Решение
Так как AC1 пересекает ось, проекция C1 на нижнее основание — точка C, диаметрально противоположная A. Значит ∠ABC = 90° (опирается на диаметр), а BB1 ⊥ (ABC), поэтому ∠ABC1 = 90°. Далее AC = √(122 + 162) = 20, и tg искомого угла равен AC : BB1, то есть угол равен arctg (20/11).
Пример 2
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 5, BB1 = 8, B1C1 = 12.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 5, BB1 = 8, B1C1 = 12.
Показать ответ
б) arctg (13/8)
Решение
Так как AC1 пересекает ось, проекция C1 на нижнее основание — точка C, диаметрально противоположная A. Значит ∠ABC = 90° (опирается на диаметр), а BB1 ⊥ (ABC), поэтому ∠ABC1 = 90°. Далее AC = √(52 + 122) = 13, и tg искомого угла равен AC : BB1, то есть угол равен arctg (13/8).
Пример 3
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 12, BB1 = 10, B1C1 = 9.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 12, BB1 = 10, B1C1 = 9.
Показать ответ
б) arctg (3/2)
Решение
Так как AC1 пересекает ось, проекция C1 на нижнее основание — точка C, диаметрально противоположная A. Значит ∠ABC = 90° (опирается на диаметр), а BB1 ⊥ (ABC), поэтому ∠ABC1 = 90°. Далее AC = √(122 + 92) = 15, и tg искомого угла равен AC : BB1, то есть угол равен arctg (3/2).
Пример 4
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 8, BB1 = 16, B1C1 = 6.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 8, BB1 = 16, B1C1 = 6.
Показать ответ
б) arctg (5/8)
Решение
Так как AC1 пересекает ось, проекция C1 на нижнее основание — точка C, диаметрально противоположная A. Значит ∠ABC = 90° (опирается на диаметр), а BB1 ⊥ (ABC), поэтому ∠ABC1 = 90°. Далее AC = √(82 + 62) = 10, и tg искомого угла равен AC : BB1, то есть угол равен arctg (5/8).
Пример 5
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 12, BB1 = 10, B1C1 = 16.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB = 12, BB1 = 10, B1C1 = 16.
Показать ответ
б) arctg 2
Решение
Так как AC1 пересекает ось, проекция C1 на нижнее основание — точка C, диаметрально противоположная A. Значит ∠ABC = 90° (опирается на диаметр), а BB1 ⊥ (ABC), поэтому ∠ABC1 = 90°. Далее AC = √(122 + 162) = 20, и tg искомого угла равен AC : BB1, то есть угол равен arctg 2.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.