Дан тангенс угла между DM и AL: высота пирамиды — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Отрезок и отношение отрезков. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, стороны основания которой равны 8. Точка L — середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 8/5.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
Показать ответ
б) 6
Решение
Точка L — середина MB, поэтому LO — средняя линия треугольника MBD и LO ∥ MD; а AO ⊥ BD и AO ⊥ MO, значит AO ⊥ (MBD) и AO ⊥ LO. Угол между DM и AL равен углу ALO, его тангенс равен AO : LO; из этого уравнения высота пирамиды равна 6.
Пример 2
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, стороны основания которой равны 6. Точка L — середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 6/5.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
Показать ответ
б) 8
Решение
Точка L — середина MB, поэтому LO — средняя линия треугольника MBD и LO ∥ MD; а AO ⊥ BD и AO ⊥ MO, значит AO ⊥ (MBD) и AO ⊥ LO. Угол между DM и AL равен углу ALO, его тангенс равен AO : LO; из этого уравнения высота пирамиды равна 8.
Пример 3
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, стороны основания которой равны 4. Точка L — середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 8/5.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
Показать ответ
б) 3
Решение
Точка L — середина MB, поэтому LO — средняя линия треугольника MBD и LO ∥ MD; а AO ⊥ BD и AO ⊥ MO, значит AO ⊥ (MBD) и AO ⊥ LO. Угол между DM и AL равен углу ALO, его тангенс равен AO : LO; из этого уравнения высота пирамиды равна 3.
Пример 4
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, стороны основания которой равны 4. Точка L — середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен √2.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
Показать ответ
б) 4
Решение
Точка L — середина MB, поэтому LO — средняя линия треугольника MBD и LO ∥ MD; а AO ⊥ BD и AO ⊥ MO, значит AO ⊥ (MBD) и AO ⊥ LO. Угол между DM и AL равен углу ALO, его тангенс равен AO : LO; из этого уравнения высота пирамиды равна 4.
Пример 5
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, стороны основания которой равны 6. Точка L — середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 2√5/5.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
а) Докажите, что если O — центр основания пирамиды, то прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
Показать ответ
б) 12
Решение
Точка L — середина MB, поэтому LO — средняя линия треугольника MBD и LO ∥ MD; а AO ⊥ BD и AO ⊥ MO, значит AO ⊥ (MBD) и AO ⊥ LO. Угол между DM и AL равен углу ALO, его тангенс равен AO : LO; из этого уравнения высота пирамиды равна 12.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.