Диагонали под 60°: расстояние от A₁ до BMD — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние от точки до плоскости. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями A1C и B1D равен 60°.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 14.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 14.
Показать ответ
б) 21
Решение
Из условия следует AA1 = AB√2 = 14√2; тогда A1C · AC1 = 0. Плоскость BMD пересекает призму так, что расстояние от A1 до неё равно 3·AB/2 = 21.
Пример 2
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями A1C и B1D равен 60°.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 10.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 10.
Показать ответ
б) 15
Решение
Из условия следует AA1 = AB√2 = 10√2; тогда A1C · AC1 = 0. Плоскость BMD пересекает призму так, что расстояние от A1 до неё равно 3·AB/2 = 15.
Пример 3
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями A1C и B1D равен 60°.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 3.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 3.
Показать ответ
б) 9/2
Решение
Из условия следует AA1 = AB√2 = 3√2; тогда A1C · AC1 = 0. Плоскость BMD пересекает призму так, что расстояние от A1 до неё равно 3·AB/2 = 9/2.
Пример 4
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями A1C и B1D равен 60°.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 12.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 12.
Показать ответ
б) 18
Решение
Из условия следует AA1 = AB√2 = 12√2; тогда A1C · AC1 = 0. Плоскость BMD пересекает призму так, что расстояние от A1 до неё равно 3·AB/2 = 18.
Пример 5
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями A1C и B1D равен 60°.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 7.
а) Докажите, что диагонали A1C и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до плоскости BMD, где точка M — середина ребра CC1, если сторона основания призмы равна 7.
Показать ответ
б) 21/2
Решение
Из условия следует AA1 = AB√2 = 7√2; тогда A1C · AC1 = 0. Плоскость BMD пересекает призму так, что расстояние от A1 до неё равно 3·AB/2 = 21/2.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.