α ∥ KM делит NN₁ пополам: угол с основанием — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между плоскостями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость α, параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 7, KK1 = 5.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 7, KK1 = 5.
Показать ответ
б) arctg (5√2/28)
Решение
В координатах K(0; 0; 0), L(7; 0; 0), N(0; 7; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−h/4; h/4; −KL), поэтому tg искомого угла равен KK1·√2/(4·KL), то есть угол равен arctg (5√2/28).
Пример 2
В правильной четырёхугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость α, параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 12, KK1 = 15.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 12, KK1 = 15.
Показать ответ
б) arctg (5√2/16)
Решение
В координатах K(0; 0; 0), L(12; 0; 0), N(0; 12; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−h/4; h/4; −KL), поэтому tg искомого угла равен KK1·√2/(4·KL), то есть угол равен arctg (5√2/16).
Пример 3
В правильной четырёхугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость α, параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 7, KK1 = 9.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 7, KK1 = 9.
Показать ответ
б) arctg (9√2/28)
Решение
В координатах K(0; 0; 0), L(7; 0; 0), N(0; 7; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−h/4; h/4; −KL), поэтому tg искомого угла равен KK1·√2/(4·KL), то есть угол равен arctg (9√2/28).
Пример 4
В правильной четырёхугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость α, параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 12, KK1 = 3.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 12, KK1 = 3.
Показать ответ
б) arctg (√2/16)
Решение
В координатах K(0; 0; 0), L(12; 0; 0), N(0; 12; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−h/4; h/4; −KL), поэтому tg искомого угла равен KK1·√2/(4·KL), то есть угол равен arctg (√2/16).
Пример 5
В правильной четырёхугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость α, параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 9, KK1 = 14.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 9, KK1 = 14.
Показать ответ
б) arctg (7√2/18)
Решение
В координатах K(0; 0; 0), L(9; 0; 0), N(0; 9; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−h/4; h/4; −KL), поэтому tg искомого угла равен KK1·√2/(4·KL), то есть угол равен arctg (7√2/18).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.