Конус на описанной окружности: боковая поверхность — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Поверхность тела вращения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 5, а сторона основания равна 20. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
Показать ответ
б) 150π√2
Решение
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: R = a√2/2 = 10√2, поэтому 2πR : a = π√2. Образующая конуса l = √(R2 + h2) = 15, а S = πRl = 150π√2.
Пример 2
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3, а сторона основания равна 20. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
Показать ответ
б) 20π√109
Решение
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: R = a√2/2 = 10√2, поэтому 2πR : a = π√2. Образующая конуса l = √(R2 + h2) = √218, а S = πRl = 20π√109.
Пример 3
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а сторона основания равна 10. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
Показать ответ
б) 10π√57
Решение
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: R = a√2/2 = 5√2, поэтому 2πR : a = π√2. Образующая конуса l = √(R2 + h2) = √114, а S = πRl = 10π√57.
Пример 4
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3, а сторона основания равна 4. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
Показать ответ
б) 2π√34
Решение
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: R = a√2/2 = 2√2, поэтому 2πR : a = π√2. Образующая конуса l = √(R2 + h2) = √17, а S = πRl = 2π√34.
Пример 5
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна , а сторона основания равна 6. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
Показать ответ
б) 6π√10
Решение
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: R = a√2/2 = 3√2, поэтому 2πR : a = π√2. Образующая конуса l = √(R2 + h2) = 2√5, а S = πRl = 6π√10.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.