Конус: угол между SA и плоскостью SBC — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между прямой и плоскостью. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 8, BC = 6 и SC = 4.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 8, BC = 6 и SC = 4.
Показать ответ
б) arctg (√14/3)
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой и AC = 10, а радиус основания равен 5. Высота конуса равна √(SC2 − R2) = √7. Синус угла между SA и плоскостью SBC равен отношению расстояния от A до этой плоскости к SA, откуда угол равен arctg (√14/3).
Пример 2
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 12, BC = 16 и SC = 8.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 12, BC = 16 и SC = 8.
Показать ответ
б) arcsin (3√14/16)
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой и AC = 20, а радиус основания равен 10. Высота конуса равна √(SC2 − R2) = 2√7. Синус угла между SA и плоскостью SBC равен отношению расстояния от A до этой плоскости к SA, откуда угол равен arcsin (3√14/16).
Пример 3
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 5, BC = 12 и SC = 9.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 5, BC = 12 и SC = 9.
Показать ответ
б) arcsin (5√31/54)
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой и AC = 13, а радиус основания равен 6.5. Высота конуса равна √(SC2 − R2) = √155/2. Синус угла между SA и плоскостью SBC равен отношению расстояния от A до этой плоскости к SA, откуда угол равен arcsin (5√31/54).
Пример 4
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 5, BC = 12 и SC = 5.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 5, BC = 12 и SC = 5.
Показать ответ
б) arctg (√31/9)
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой и AC = 13, а радиус основания равен 6.5. Высота конуса равна √(SC2 − R2) = √31/2. Синус угла между SA и плоскостью SBC равен отношению расстояния от A до этой плоскости к SA, откуда угол равен arctg (√31/9).
Пример 5
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 9, BC = 12 и SC = 6.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 9, BC = 12 и SC = 6.
Показать ответ
б) arcsin (3√14/16)
Решение
Угол ABC опирается на диаметр, поэтому он прямой и AC = 15, а радиус основания равен 7.5. Высота конуса равна √(SC2 − R2) = 3√7/2. Синус угла между SA и плоскостью SBC равен отношению расстояния от A до этой плоскости к SA, откуда угол равен arcsin (3√14/16).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.