Куб: AC и BD₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние между прямыми. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 19.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
Показать ответ
б) 19√6/6
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(19; 0; 0), D(0; 19; 0) имеем AC = (19; 19; 0) и BD1 = (−19; 19; 19), их скалярное произведение равно нулю. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно |AB · (AC × BD1)| / |AC × BD1| = 19√6/6.
Пример 2
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
Показать ответ
б) 5√6/6
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(5; 0; 0), D(0; 5; 0) имеем AC = (5; 5; 0) и BD1 = (−5; 5; 5), их скалярное произведение равно нулю. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно |AB · (AC × BD1)| / |AC × BD1| = 5√6/6.
Пример 3
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
Показать ответ
б) √6/3
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0) имеем AC = (2; 2; 0) и BD1 = (−2; 2; 2), их скалярное произведение равно нулю. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно |AB · (AC × BD1)| / |AC × BD1| = √6/3.
Пример 4
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 10.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
Показать ответ
б) 5√6/3
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(10; 0; 0), D(0; 10; 0) имеем AC = (10; 10; 0) и BD1 = (−10; 10; 10), их скалярное произведение равно нулю. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно |AB · (AC × BD1)| / |AC × BD1| = 5√6/3.
Пример 5
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BD1 равен 90°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD1.
Показать ответ
б) √6
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 6; 0) имеем AC = (6; 6; 0) и BD1 = (−6; 6; 6), их скалярное произведение равно нулю. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно |AB · (AC × BD1)| / |AC × BD1| = √6.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.