Куб: B₁KLM — правильная пирамида — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 14. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
Показать ответ
б) 686/3
Решение
Стороны треугольника KLM — средние линии соответствующих диагональных сечений, все они равны 7√2, а расстояния от B1 до K, L и M равны между собой, поэтому пирамида правильная. Её объём равен a3/12 = 686/3.
Пример 2
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
Показать ответ
б) 16/3
Решение
Стороны треугольника KLM — средние линии соответствующих диагональных сечений, все они равны 2√2, а расстояния от B1 до K, L и M равны между собой, поэтому пирамида правильная. Её объём равен a3/12 = 16/3.
Пример 3
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
Показать ответ
б) 2/3
Решение
Стороны треугольника KLM — средние линии соответствующих диагональных сечений, все они равны √2, а расстояния от B1 до K, L и M равны между собой, поэтому пирамида правильная. Её объём равен a3/12 = 2/3.
Пример 4
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
Показать ответ
б) 128/3
Решение
Стороны треугольника KLM — средние линии соответствующих диагональных сечений, все они равны 4√2, а расстояния от B1 до K, L и M равны между собой, поэтому пирамида правильная. Её объём равен a3/12 = 128/3.
Пример 5
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 10. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
Показать ответ
б) 250/3
Решение
Стороны треугольника KLM — средние линии соответствующих диагональных сечений, все они равны 5√2, а расстояния от B1 до K, L и M равны между собой, поэтому пирамида правильная. Её объём равен a3/12 = 250/3.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.