Куб: наклон плоскости ∥ BD₁ к грани BB₁C₁C — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между плоскостями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 5. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 4 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 4 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Показать ответ
б) arctg (√37/5)
Решение
Нормаль α равна (5; -1; 6), нормаль грани BB1C1C — (1; 0; 0). Отсюда tg искомого угла равен √((5 − 6)2 + 62)/5, то есть угол равен arctg (√37/5).
Пример 2
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 9. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 7. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 5 : 2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 5 : 2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Показать ответ
б) arctg (√85/7)
Решение
Нормаль α равна (7; -2; 9), нормаль грани BB1C1C — (1; 0; 0). Отсюда tg искомого угла равен √((7 − 9)2 + 92)/7, то есть угол равен arctg (√85/7).
Пример 3
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 9. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 5. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 4, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 4, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Показать ответ
б) arctg (√97/5)
Решение
Нормаль α равна (5; -4; 9), нормаль грани BB1C1C — (1; 0; 0). Отсюда tg искомого угла равен √((5 − 9)2 + 92)/5, то есть угол равен arctg (√97/5).
Пример 4
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 10. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 6. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Показать ответ
б) arctg (√29/3)
Решение
Нормаль α равна (6; -4; 10), нормаль грани BB1C1C — (1; 0; 0). Отсюда tg искомого угла равен √((6 − 10)2 + 102)/6, то есть угол равен arctg (√29/3).
Пример 5
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Показать ответ
б) arctg (√17/3)
Решение
Нормаль α равна (3; -1; 4), нормаль грани BB1C1C — (1; 0; 0). Отсюда tg искомого угла равен √((3 − 4)2 + 42)/3, то есть угол равен arctg (√17/3).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.