Куб: от середины AA₁ до плоскости BC₁D — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние от точки до плоскости. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 2.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 2.
Показать ответ
б) 3
Решение
Плоскость BC1D отсекает от куба правильный тетраэдр; её нормаль — вектор (1; −1; 1) в координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0). Расстояние от середины AA1 до этой плоскости равно 3.
Пример 2
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 8.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 8.
Показать ответ
б) 12
Решение
Плоскость BC1D отсекает от куба правильный тетраэдр; её нормаль — вектор (1; −1; 1) в координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0). Расстояние от середины AA1 до этой плоскости равно 12.
Пример 3
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 9.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 9.
Показать ответ
б) 27/2
Решение
Плоскость BC1D отсекает от куба правильный тетраэдр; её нормаль — вектор (1; −1; 1) в координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0). Расстояние от середины AA1 до этой плоскости равно 27/2.
Пример 4
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 6.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 6.
Показать ответ
б) 9
Решение
Плоскость BC1D отсекает от куба правильный тетраэдр; её нормаль — вектор (1; −1; 1) в координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0). Расстояние от середины AA1 до этой плоскости равно 9.
Пример 5
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 10.
а) Докажите, что диагональ A1C куба и диагональ DC1 грани DD1C1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M — середины ребра AA1, до плоскости BC1D, если ребро куба равно 10.
Показать ответ
б) 5√3
Решение
Плоскость BC1D отсекает от куба правильный тетраэдр; её нормаль — вектор (1; −1; 1) в координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0). Расстояние от середины AA1 до этой плоскости равно 5√3.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.