Куб: PBDC₁ — правильный тетраэдр, длина AP — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Отрезок и отношение отрезков. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 18. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 24.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Показать ответ
б) 66
Решение
Треугольник BDC1 равносторонний со стороной a√2, где a — ребро куба, а прямая A1C перпендикулярна его плоскости и проходит через её центр. Точка A1 удалена от плоскости BDC1 на 2a/√3, поэтому точка P, симметричная A1 относительно этой плоскости, лежит на луче A1C и A1P = 4a/√3 = 24. Тогда PBDC1 — правильный тетраэдр, а AP = 66.
Пример 2
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 15. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 20.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Показать ответ
б) 55
Решение
Треугольник BDC1 равносторонний со стороной a√2, где a — ребро куба, а прямая A1C перпендикулярна его плоскости и проходит через её центр. Точка A1 удалена от плоскости BDC1 на 2a/√3, поэтому точка P, симметричная A1 относительно этой плоскости, лежит на луче A1C и A1P = 4a/√3 = 20. Тогда PBDC1 — правильный тетраэдр, а AP = 55.
Пример 3
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Показать ответ
б) 11
Решение
Треугольник BDC1 равносторонний со стороной a√2, где a — ребро куба, а прямая A1C перпендикулярна его плоскости и проходит через её центр. Точка A1 удалена от плоскости BDC1 на 2a/√3, поэтому точка P, симметричная A1 относительно этой плоскости, лежит на луче A1C и A1P = 4a/√3 = 4. Тогда PBDC1 — правильный тетраэдр, а AP = 11.
Пример 4
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 9. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 12.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Показать ответ
б) 33
Решение
Треугольник BDC1 равносторонний со стороной a√2, где a — ребро куба, а прямая A1C перпендикулярна его плоскости и проходит через её центр. Точка A1 удалена от плоскости BDC1 на 2a/√3, поэтому точка P, симметричная A1 относительно этой плоскости, лежит на луче A1C и A1P = 4a/√3 = 12. Тогда PBDC1 — правильный тетраэдр, а AP = 33.
Пример 5
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 9. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 12.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Показать ответ
б) 3√11
Решение
Треугольник BDC1 равносторонний со стороной a√2, где a — ребро куба, а прямая A1C перпендикулярна его плоскости и проходит через её центр. Точка A1 удалена от плоскости BDC1 на 2a/√3, поэтому точка P, симметричная A1 относительно этой плоскости, лежит на луче A1C и A1P = 4a/√3 = 12. Тогда PBDC1 — правильный тетраэдр, а AP = 3√11.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.