Куб рассечён плоскостью ∥ BD₁: больший кусок — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Показать ответ
б) 568/9
Решение
Нормаль плоскости α равна (3; -1; 4), и она пересекает A1B1 в точке с абсциссой 4·(2·3 − 4)/3. Объём куба 64 делится на части, большая из которых равна 568/9.
Пример 2
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 8. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 5. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 3, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 3, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Показать ответ
б) 2464/5
Решение
Нормаль плоскости α равна (5; -3; 8), и она пересекает A1B1 в точке с абсциссой 8·(2·5 − 8)/5. Объём куба 512 делится на части, большая из которых равна 2464/5.
Пример 3
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 9. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 5. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 4, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 4, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Показать ответ
б) 3429/5
Решение
Нормаль плоскости α равна (5; -4; 9), и она пересекает A1B1 в точке с абсциссой 9·(2·5 − 9)/5. Объём куба 729 делится на части, большая из которых равна 3429/5.
Пример 4
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 3. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 2. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Показать ответ
б) 105/4
Решение
Нормаль плоскости α равна (2; -1; 3), и она пересекает A1B1 в точке с абсциссой 3·(2·2 − 3)/2. Объём куба 27 делится на части, большая из которых равна 105/4.
Пример 5
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 5. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 4 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 4 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Показать ответ
б) 1074/5
Решение
Нормаль плоскости α равна (5; -1; 6), и она пересекает A1B1 в точке с абсциссой 6·(2·5 − 6)/5. Объём куба 216 делится на части, большая из которых равна 1074/5.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.