Куб: расстояние от C₁ до плоскости A₁PQ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние от точки до плоскости. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 8 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 5, а B1Q = 1. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
Показать ответ
б) 16√74/37
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 8; 0) нормаль плоскости A1PQ равна (−1; -3; −8), а точка пересечения с CC1 имеет аппликату DP − B1Q = 4 = 8/2. Расстояние от C1 до плоскости равно 16√74/37.
Пример 2
На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 4 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 3, а B1Q = 1. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
Показать ответ
б) 4√2/3
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), D(0; 4; 0) нормаль плоскости A1PQ равна (−1; -1; −4), а точка пересечения с CC1 имеет аппликату DP − B1Q = 2 = 4/2. Расстояние от C1 до плоскости равно 4√2/3.
Пример 3
На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 10 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 6, а B1Q = 1. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
Показать ответ
б) 50√13/39
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(10; 0; 0), D(0; 10; 0) нормаль плоскости A1PQ равна (−1; -4; −10), а точка пересечения с CC1 имеет аппликату DP − B1Q = 5 = 10/2. Расстояние от C1 до плоскости равно 50√13/39.
Пример 4
На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 10 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 7, а B1Q = 2. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
Показать ответ
б) 50√113/113
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(10; 0; 0), D(0; 10; 0) нормаль плоскости A1PQ равна (−2; -3; −10), а точка пересечения с CC1 имеет аппликату DP − B1Q = 5 = 10/2. Расстояние от C1 до плоскости равно 50√113/113.
Пример 5
На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 16 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 11, а B1Q = 3. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1PQ.
Показать ответ
б) 64√290/145
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(16; 0; 0), D(0; 16; 0) нормаль плоскости A1PQ равна (−3; -5; −16), а точка пересечения с CC1 имеет аппликату DP − B1Q = 8 = 16/2. Расстояние от C1 до плоскости равно 64√290/145.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.