Куб: сечение через P ⊥ BQ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 9.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 9.
Показать ответ
б) 81√5/2
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) векторы B1P и QB ортогональны. Сечение, перпендикулярное BQ и проходящее через P, — четырёхугольник площадью a2√5/2 = 81√5/2.
Пример 2
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 15.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 15.
Показать ответ
б) 225√5/2
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) векторы B1P и QB ортогональны. Сечение, перпендикулярное BQ и проходящее через P, — четырёхугольник площадью a2√5/2 = 225√5/2.
Пример 3
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 12.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 12.
Показать ответ
б) 72√5
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) векторы B1P и QB ортогональны. Сечение, перпендикулярное BQ и проходящее через P, — четырёхугольник площадью a2√5/2 = 72√5.
Пример 4
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 19.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 19.
Показать ответ
б) 361√5/2
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) векторы B1P и QB ортогональны. Сечение, перпендикулярное BQ и проходящее через P, — четырёхугольник площадью a2√5/2 = 361√5/2.
Пример 5
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 3.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 3.
Показать ответ
б) 9√5/2
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) векторы B1P и QB ортогональны. Сечение, перпендикулярное BQ и проходящее через P, — четырёхугольник площадью a2√5/2 = 9√5/2.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.