α ⊃ MN ⊥ основанию: расстояние от A — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние от точки до плоскости. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 114, а боковое ребро SA равно 188. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Показать ответ
б) 19√3/2
Решение
MN — средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ∥ AB, а проекция MN на основание — прямая, параллельная AB и проходящая через точку, делящую CE в отношении 5 : 1. Так как α ⊥ (ABC), расстояние от A до α равно расстоянию в основании от A до этой прямой, то есть CE/6 = AB·√3/12 = 19√3/2.
Пример 2
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 96, а боковое ребро SA равно 180. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Показать ответ
б) 8√3
Решение
MN — средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ∥ AB, а проекция MN на основание — прямая, параллельная AB и проходящая через точку, делящую CE в отношении 5 : 1. Так как α ⊥ (ABC), расстояние от A до α равно расстоянию в основании от A до этой прямой, то есть CE/6 = AB·√3/12 = 8√3.
Пример 3
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 78, а боковое ребро SA равно 75. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Показать ответ
б) 13√3/2
Решение
MN — средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ∥ AB, а проекция MN на основание — прямая, параллельная AB и проходящая через точку, делящую CE в отношении 5 : 1. Так как α ⊥ (ABC), расстояние от A до α равно расстоянию в основании от A до этой прямой, то есть CE/6 = AB·√3/12 = 13√3/2.
Пример 4
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 72, а боковое ребро SA равно 101. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Показать ответ
б) 6√3
Решение
MN — средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ∥ AB, а проекция MN на основание — прямая, параллельная AB и проходящая через точку, делящую CE в отношении 5 : 1. Так как α ⊥ (ABC), расстояние от A до α равно расстоянию в основании от A до этой прямой, то есть CE/6 = AB·√3/12 = 6√3.
Пример 5
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 54, а боковое ребро SA равно 64. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Показать ответ
б) 9√3/2
Решение
MN — средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ∥ AB, а проекция MN на основание — прямая, параллельная AB и проходящая через точку, делящую CE в отношении 5 : 1. Так как α ⊥ (ABC), расстояние от A до α равно расстоянию в основании от A до этой прямой, то есть CE/6 = AB·√3/12 = 9√3/2.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.