MNB₁ делит призму пополам: объём MNBB₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 18. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 6, CN = 3.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Показать ответ
б) 486√3
Решение
Объём части призмы, отсечённой плоскостью MNB1, равен площади основания, умноженной на среднее арифметическое высот AM, CN и BB1: (6 + 3 + 18)/3 = 18/2, то есть ровно половине объёма призмы. Треугольник MBB1 лежит в грани ABB1A1, его площадь равна 108, а расстояние от N до этой грани равно 9√3; объём тетраэдра равен 486√3.
Пример 2
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 32. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 7, CN = 9.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Показать ответ
б) 8192√3/3
Решение
Объём части призмы, отсечённой плоскостью MNB1, равен площади основания, умноженной на среднее арифметическое высот AM, CN и BB1: (7 + 9 + 32)/3 = 32/2, то есть ровно половине объёма призмы. Треугольник MBB1 лежит в грани ABB1A1, его площадь равна 400, а расстояние от N до этой грани равно 16√3; объём тетраэдра равен 8192√3/3.
Пример 3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 32. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 9, CN = 7.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Показать ответ
б) 8192√3/3
Решение
Объём части призмы, отсечённой плоскостью MNB1, равен площади основания, умноженной на среднее арифметическое высот AM, CN и BB1: (9 + 7 + 32)/3 = 32/2, то есть ровно половине объёма призмы. Треугольник MBB1 лежит в грани ABB1A1, его площадь равна 368, а расстояние от N до этой грани равно 16√3; объём тетраэдра равен 8192√3/3.
Пример 4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 12. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 1, CN = 5.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Показать ответ
б) 144√3
Решение
Объём части призмы, отсечённой плоскостью MNB1, равен площади основания, умноженной на среднее арифметическое высот AM, CN и BB1: (1 + 5 + 12)/3 = 12/2, то есть ровно половине объёма призмы. Треугольник MBB1 лежит в грани ABB1A1, его площадь равна 66, а расстояние от N до этой грани равно 6√3; объём тетраэдра равен 144√3.
Пример 5
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 26. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 11, CN = 2.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Показать ответ
б) 4394√3/3
Решение
Объём части призмы, отсечённой плоскостью MNB1, равен площади основания, умноженной на среднее арифметическое высот AM, CN и BB1: (11 + 2 + 26)/3 = 26/2, то есть ровно половине объёма призмы. Треугольник MBB1 лежит в грани ABB1A1, его площадь равна 195, а расстояние от N до этой грани равно 13√3; объём тетраэдра равен 4394√3/3.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.