MNK ∥ DBC: расстояние от K до DBC — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние от точки до плоскости. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 4, а высота пирамиды равна 3. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM = AN = и AK = 54.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
Показать ответ
б) 27√13/26
Решение
Боковое ребро равно √(32 + 42) = 5. Так как AM : AB = AN : AC = AK : AD = 1 : 4, треугольник MNK гомотетичен BCD с центром A, поэтому плоскости параллельны. Расстояние от K до плоскости DBC составляет (1 − 1/4) от расстояния от A до неё и равно 27√13/26.
Пример 2
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 4, а высота пирамиды равна 3. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM = AN = 2 и AK = 52.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
Показать ответ
б) 9√13/13
Решение
Боковое ребро равно √(32 + 42) = 5. Так как AM : AB = AN : AC = AK : AD = 1 : 2, треугольник MNK гомотетичен BCD с центром A, поэтому плоскости параллельны. Расстояние от K до плоскости DBC составляет (1 − 1/2) от расстояния от A до неё и равно 9√13/13.
Пример 3
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 4, а высота пирамиды равна 3. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM = AN = 23 и AK = 56.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
Показать ответ
б) 15√13/13
Решение
Боковое ребро равно √(32 + 42) = 5. Так как AM : AB = AN : AC = AK : AD = 1 : 6, треугольник MNK гомотетичен BCD с центром A, поэтому плоскости параллельны. Расстояние от K до плоскости DBC составляет (1 − 1/6) от расстояния от A до неё и равно 15√13/13.
Пример 4
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 4, а высота пирамиды равна 3. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM = AN = 83 и AK = 103.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
Показать ответ
б) 6√13/13
Решение
Боковое ребро равно √(32 + 42) = 5. Так как AM : AB = AN : AC = AK : AD = 4 : 6, треугольник MNK гомотетичен BCD с центром A, поэтому плоскости параллельны. Расстояние от K до плоскости DBC составляет (1 − 4/6) от расстояния от A до неё и равно 6√13/13.
Пример 5
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 12, а высота пирамиды равна 9. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM = AN = 2 и AK = 52.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
Показать ответ
б) 45√13/13
Решение
Боковое ребро равно √(92 + 122) = 15. Так как AM : AB = AN : AC = AK : AD = 1 : 6, треугольник MNK гомотетичен BCD с центром A, поэтому плоскости параллельны. Расстояние от K до плоскости DBC составляет (1 − 1/6) от расстояния от A до неё и равно 45√13/13.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.