MNK ∥ SBC: расстояние от M до SBC — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Расстояние от точки до плоскости. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 3. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 8 и AK = 6.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Показать ответ
б) 4√5/5
Решение
Боковое ребро равно √(32 + 72) = 9. Отрезки MN ∥ BC и MK ∥ BS (так как AM : AB = AK : AS), поэтому плоскости MNK и SBC параллельны. Расстояние от M до SBC равно (1 − 2/3) от расстояния от A до этой плоскости, то есть 4√5/5.
Пример 2
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 32, а высота пирамиды равна 8. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 16 и AK = 12.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Показать ответ
б) 16√5/5
Решение
Боковое ребро равно √(82 + 512) = 24. Отрезки MN ∥ BC и MK ∥ BS (так как AM : AB = AK : AS), поэтому плоскости MNK и SBC параллельны. Расстояние от M до SBC равно (1 − 1/2) от расстояния от A до этой плоскости, то есть 16√5/5.
Пример 3
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 12 и AK = 9.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Показать ответ
б) 4√5/5
Решение
Боковое ребро равно √(42 + 128) = 12. Отрезки MN ∥ BC и MK ∥ BS (так как AM : AB = AK : AS), поэтому плоскости MNK и SBC параллельны. Расстояние от M до SBC равно (1 − 3/4) от расстояния от A до этой плоскости, то есть 4√5/5.
Пример 4
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 8 и AK = 6.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Показать ответ
б) 8√5/5
Решение
Боковое ребро равно √(42 + 128) = 12. Отрезки MN ∥ BC и MK ∥ BS (так как AM : AB = AK : AS), поэтому плоскости MNK и SBC параллельны. Расстояние от M до SBC равно (1 − 1/2) от расстояния от A до этой плоскости, то есть 8√5/5.
Пример 5
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 40, а высота пирамиды равна 10. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 20 и AK = 15.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Показать ответ
б) 4√5
Решение
Боковое ребро равно √(102 + 800) = 30. Отрезки MN ∥ BC и MK ∥ BS (так как AM : AB = AK : AS), поэтому плоскости MNK и SBC параллельны. Расстояние от M до SBC равно (1 − 1/2) от расстояния от A до этой плоскости, то есть 4√5.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.