PABC: высота в C, PA ⊥ BC — объём — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 15, PB = 20, cos ∠PBA = 1225. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
Показать ответ
б) 288
Решение
Так как PC ⊥ (ABC), то PC ⊥ BC; вместе с PA ⊥ BC это даёт BC ⊥ (PAC), значит BC ⊥ AC и треугольник ABC прямоугольный. По теореме косинусов PA2 = 337, откуда BC = 12, AC = 9, PC = 16. Объём равен ⅙·AC·BC·PC = 288.
Пример 2
В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 17, PB = 25, cos ∠PBA = 917. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
Показать ответ
б) 400
Решение
Так как PC ⊥ (ABC), то PC ⊥ BC; вместе с PA ⊥ BC это даёт BC ⊥ (PAC), значит BC ⊥ AC и треугольник ABC прямоугольный. По теореме косинусов PA2 = 464, откуда BC = 15, AC = 8, PC = 20. Объём равен ⅙·AC·BC·PC = 400.
Пример 3
В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 25, PB = 25, cos ∠PBA = 576625. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
Показать ответ
б) 196
Решение
Так как PC ⊥ (ABC), то PC ⊥ BC; вместе с PA ⊥ BC это даёт BC ⊥ (PAC), значит BC ⊥ AC и треугольник ABC прямоугольный. По теореме косинусов PA2 = 98, откуда BC = 24, AC = 7, PC = 7. Объём равен ⅙·AC·BC·PC = 196.
Пример 4
В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 29, PB = 29, cos ∠PBA = 441841. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
Показать ответ
б) 1400
Решение
Так как PC ⊥ (ABC), то PC ⊥ BC; вместе с PA ⊥ BC это даёт BC ⊥ (PAC), значит BC ⊥ AC и треугольник ABC прямоугольный. По теореме косинусов PA2 = 800, откуда BC = 21, AC = 20, PC = 20. Объём равен ⅙·AC·BC·PC = 1400.
Пример 5
В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 17, PB = 17, cos ∠PBA = 64289. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.
Показать ответ
б) 300
Решение
Так как PC ⊥ (ABC), то PC ⊥ BC; вместе с PA ⊥ BC это даёт BC ⊥ (PAC), значит BC ⊥ AC и треугольник ABC прямоугольный. По теореме косинусов PA2 = 450, откуда BC = 8, AC = 15, PC = 15. Объём равен ⅙·AC·BC·PC = 300.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.