Пирамида: α ⊃ MN ⊥ основанию — периметр сечения — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 21, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Показать ответ
б) 28 + √263
Решение
Сечение — трапеция: MN = AB/2 = 10.5, нижнее основание лежит в плоскости ABC, боковые стороны равны между собой. Сумма сторон равна 28 + √263.
Пример 2
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно 17. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Показать ответ
б) 12 + √271
Решение
Сечение — трапеция: MN = AB/2 = 4.5, нижнее основание лежит в плоскости ABC, боковые стороны равны между собой. Сумма сторон равна 12 + √271.
Пример 3
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно 9. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Показать ответ
б) 12 + 3√7
Решение
Сечение — трапеция: MN = AB/2 = 4.5, нижнее основание лежит в плоскости ABC, боковые стороны равны между собой. Сумма сторон равна 12 + 3√7.
Пример 4
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно 14. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Показать ответ
б) 12 + √178
Решение
Сечение — трапеция: MN = AB/2 = 4.5, нижнее основание лежит в плоскости ABC, боковые стороны равны между собой. Сумма сторон равна 12 + √178.
Пример 5
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 27, а боковое ребро SA равно 17. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Показать ответ
б) 36 + √127
Решение
Сечение — трапеция: MN = AB/2 = 13.5, нижнее основание лежит в плоскости ABC, боковые стороны равны между собой. Сумма сторон равна 36 + √127.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.