Пирамида по S(бок) и S(полн): площадь SAC — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 189.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Показать ответ
б) 27√14/4
Решение
Площадь основания равна 189 − 108 = 81, поэтому сторона основания равна 9, а апофема равна 108/(2·9) = 6. Высота пирамиды равна √(62 − 92/4) = 3√7/2. Обе плоскости содержат высоту SO, а их следы в основании — диагональ AC и отрезок к середине AB, угол между которыми 45°. Площадь треугольника SAC равна ½·AC·SO = 27√14/4.
Пример 2
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 96, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 160.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Показать ответ
б) 8√10
Решение
Площадь основания равна 160 − 96 = 64, поэтому сторона основания равна 8, а апофема равна 96/(2·8) = 6. Высота пирамиды равна √(62 − 82/4) = 2√5. Обе плоскости содержат высоту SO, а их следы в основании — диагональ AC и отрезок к середине AB, угол между которыми 45°. Площадь треугольника SAC равна ½·AC·SO = 8√10.
Пример 3
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 12, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 21.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Показать ответ
б) 3√14/4
Решение
Площадь основания равна 21 − 12 = 9, поэтому сторона основания равна 3, а апофема равна 12/(2·3) = 2. Высота пирамиды равна √(22 − 32/4) = √7/2. Обе плоскости содержат высоту SO, а их следы в основании — диагональ AC и отрезок к середине AB, угол между которыми 45°. Площадь треугольника SAC равна ½·AC·SO = 3√14/4.
Пример 4
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Показать ответ
б) 36
Решение
Площадь основания равна 144 − 108 = 36, поэтому сторона основания равна 6, а апофема равна 108/(2·6) = 9. Высота пирамиды равна √(92 − 62/4) = 6√2. Обе плоскости содержат высоту SO, а их следы в основании — диагональ AC и отрезок к середине AB, угол между которыми 45°. Площадь треугольника SAC равна ½·AC·SO = 36.
Пример 5
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 112, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 161.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Показать ответ
б) 21√46/4
Решение
Площадь основания равна 161 − 112 = 49, поэтому сторона основания равна 7, а апофема равна 112/(2·7) = 8. Высота пирамиды равна √(82 − 72/4) = 3√23/2. Обе плоскости содержат высоту SO, а их следы в основании — диагональ AC и отрезок к середине AB, угол между которыми 45°. Площадь треугольника SAC равна ½·AC·SO = 21√46/4.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.