Плоскость BTC₁ делит MB₁: меньшая часть — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Отрезок и отношение отрезков. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 10, а боковое ребро AA1 = 8. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 4.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
Показать ответ
б) 3√139/7
Решение
Плоскость BB1M проходит через середину AC и вертикальна, а середина C1T проецируется как раз в середину AC, поэтому отрезок C1T делится пополам. Плоскость BTC1 пересекает MB1 (длина MB1 = √139); меньшая из частей равна 3√139/7.
Пример 2
Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 10, а боковое ребро AA1 = 15. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 7.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
Показать ответ
б) 55√3/13
Решение
Плоскость BB1M проходит через середину AC и вертикальна, а середина C1T проецируется как раз в середину AC, поэтому отрезок C1T делится пополам. Плоскость BTC1 пересекает MB1 (длина MB1 = 10√3); меньшая из частей равна 55√3/13.
Пример 3
Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 9, а боковое ребро AA1 = 6. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 2.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
Показать ответ
б) 3√43/5
Решение
Плоскость BB1M проходит через середину AC и вертикальна, а середина C1T проецируется как раз в середину AC, поэтому отрезок C1T делится пополам. Плоскость BTC1 пересекает MB1 (длина MB1 = 3√43/2); меньшая из частей равна 3√43/5.
Пример 4
Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 7, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 1.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
Показать ответ
б) 14√7/11
Решение
Плоскость BB1M проходит через середину AC и вертикальна, а середина C1T проецируется как раз в середину AC, поэтому отрезок C1T делится пополам. Плоскость BTC1 пересекает MB1 (длина MB1 = 7√7/2); меньшая из частей равна 14√7/11.
Пример 5
Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 2, а боковое ребро AA1 = 16. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 12.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
Показать ответ
б) 7√259/15
Решение
Плоскость BB1M проходит через середину AC и вертикальна, а середина C1T проецируется как раз в середину AC, поэтому отрезок C1T делится пополам. Плоскость BTC1 пересекает MB1 (длина MB1 = √259); меньшая из частей равна 7√259/15.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.