Плоскость через D ⊥ BD₁: косинус угла с основанием — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между плоскостями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 2, AD = 2. Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 12.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Показать ответ
б) √2/4
Решение
Прямые AC и B1D1 лежат в параллельных плоскостях оснований, поэтому расстояние между ними равно высоте призмы: AA1 = 12. Нормаль секущей плоскости — вектор BD1, косинус её угла с основанием равен AA1/BD1 = 12/√(22 + 1004 + 144) = √2/4.
Пример 2
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 21, AD = 3. Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 9.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Показать ответ
б) √2/4
Решение
Прямые AC и B1D1 лежат в параллельных плоскостях оснований, поэтому расстояние между ними равно высоте призмы: AA1 = 9. Нормаль секущей плоскости — вектор BD1, косинус её угла с основанием равен AA1/BD1 = 9/√(212 + 126 + 81) = √2/4.
Пример 3
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = . Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 6.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Показать ответ
б) √2/4
Решение
Прямые AC и B1D1 лежат в параллельных плоскостях оснований, поэтому расстояние между ними равно высоте призмы: AA1 = 6. Нормаль секущей плоскости — вектор BD1, косинус её угла с основанием равен AA1/BD1 = 6/√(52 + 227 + 36) = √2/4.
Пример 4
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 3, AD = . Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 4.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Показать ответ
б) √2/4
Решение
Прямые AC и B1D1 лежат в параллельных плоскостях оснований, поэтому расстояние между ними равно высоте призмы: AA1 = 4. Нормаль секущей плоскости — вектор BD1, косинус её угла с основанием равен AA1/BD1 = 4/√(32 + 103 + 16) = √2/4.
Пример 5
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 3, AD = 9. Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 6.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Показать ответ
б) √2/4
Решение
Прямые AC и B1D1 лежат в параллельных плоскостях оснований, поэтому расстояние между ними равно высоте призмы: AA1 = 6. Нормаль секущей плоскости — вектор BD1, косинус её угла с основанием равен AA1/BD1 = 6/√(32 + 243 + 36) = √2/4.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.