Плоскость EFT через D₁: угол с BB₁C₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между плоскостями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 17, а на ребре B1C1 — точка T так, что B1T : TC1 = 1 : 4. Известно, что AB = 8, AD = 6, AA1 = 4.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Показать ответ
б) arctg (5√5/3)
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 6; 0), AA1 = 4 точки E, F, T и D1 компланарны: выполнено (1 − e)(1 − t) = f − e. Плоскость BB1C1 задаётся уравнением x = 8; отсюда искомый угол равен arctg (5√5/3).
Пример 2
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 1 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 2 : 5, а на ребре B1C1 — точка T так, что B1T : TC1 = 4 : 3. Известно, что AB = 5, AD = 5, AA1 = 4.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Показать ответ
б) arctg (7√29/6)
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(5; 0; 0), D(0; 5; 0), AA1 = 4 точки E, F, T и D1 компланарны: выполнено (1 − e)(1 − t) = f − e. Плоскость BB1C1 задаётся уравнением x = 5; отсюда искомый угол равен arctg (7√29/6).
Пример 3
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 1 : 4, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 14, а на ребре B1C1 — точка T так, что B1T : TC1 = 1 : 2. Известно, что AB = 6, AD = 9, AA1 = 15.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Показать ответ
б) arctg √10
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 9; 0), AA1 = 15 точки E, F, T и D1 компланарны: выполнено (1 − e)(1 − t) = f − e. Плоскость BB1C1 задаётся уравнением x = 6; отсюда искомый угол равен arctg √10.
Пример 4
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 17, а на ребре B1C1 — точка T так, что B1T : TC1 = 1 : 3. Известно, что AB = 7, AD = 3, AA1 = 15.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Показать ответ
б) arctg (28√10/27)
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(7; 0; 0), D(0; 3; 0), AA1 = 15 точки E, F, T и D1 компланарны: выполнено (1 − e)(1 − t) = f − e. Плоскость BB1C1 задаётся уравнением x = 7; отсюда искомый угол равен arctg (28√10/27).
Пример 5
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 1 : 4, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 9, а на ребре B1C1 — точка T так, что B1T : TC1 = 1 : 1. Известно, что AB = 5, AD = 5, AA1 = 5.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Показать ответ
б) arctg 2√26
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(5; 0; 0), D(0; 5; 0), AA1 = 5 точки E, F, T и D1 компланарны: выполнено (1 − e)(1 − t) = f − e. Плоскость BB1C1 задаётся уравнением x = 5; отсюда искомый угол равен arctg 2√26.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.