Полная поверхность пирамиды B₁ABD — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD. Известно, что AB1 = 3√3, DB1 = 3√2 и AD = 3.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 3√2.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 3√2.
Показать ответ
б) 9 + 9√2
Решение
Из B1C2 = BC2 + BB12 и BC = AD находим высоту призмы AA1 = 3, затем DB = 3 и AB = 3√2. Равенство AB2 = AD2 + DB2 показывает, что угол ADB прямой, поэтому DB ⊥ AD, а значит DB ⊥ BC. Сложив площади четырёх граней пирамиды B1ABD, получаем 9 + 9√2.
Пример 2
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD. Известно, что AB1 = 3√13, DB1 = 9 и AD = 6.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 6√2.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 6√2.
Показать ответ
б) 54 + 18√5
Решение
Из B1C2 = BC2 + BB12 и BC = AD находим высоту призмы AA1 = 6, затем DB = 3√5 и AB = 9. Равенство AB2 = AD2 + DB2 показывает, что угол ADB прямой, поэтому DB ⊥ AD, а значит DB ⊥ BC. Сложив площади четырёх граней пирамиды B1ABD, получаем 54 + 18√5.
Пример 3
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD. Известно, что AB1 = 9√3, DB1 = 9√2 и AD = 9.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 9√2.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 9√2.
Показать ответ
б) 81 + 81√2
Решение
Из B1C2 = BC2 + BB12 и BC = AD находим высоту призмы AA1 = 9, затем DB = 9 и AB = 9√2. Равенство AB2 = AD2 + DB2 показывает, что угол ADB прямой, поэтому DB ⊥ AD, а значит DB ⊥ BC. Сложив площади четырёх граней пирамиды B1ABD, получаем 81 + 81√2.
Пример 4
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD. Известно, что AB1 = 3√13, DB1 = 6√3 и AD = 3.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 3√10.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 3√10.
Показать ответ
б) 27 + 27√3
Решение
Из B1C2 = BC2 + BB12 и BC = AD находим высоту призмы AA1 = 9, затем DB = 3√3 и AB = 6. Равенство AB2 = AD2 + DB2 показывает, что угол ADB прямой, поэтому DB ⊥ AD, а значит DB ⊥ BC. Сложив площади четырёх граней пирамиды B1ABD, получаем 27 + 27√3.
Пример 5
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD. Известно, что AB1 = 3√22, DB1 = 3√13 и AD = 9.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 9√2.
а) Докажите, что прямые DB и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды B1ABD, если B1C = 9√2.
Показать ответ
б) 54 + 27√13
Решение
Из B1C2 = BC2 + BB12 и BC = AD находим высоту призмы AA1 = 9, затем DB = 6 и AB = 3√13. Равенство AB2 = AD2 + DB2 показывает, что угол ADB прямой, поэтому DB ⊥ AD, а значит DB ⊥ BC. Сложив площади четырёх граней пирамиды B1ABD, получаем 54 + 27√13.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.