Призма: α ∥ AC через середину AB и точку на DD₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между плоскостями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F — середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 6, а высота равна 35.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 6, а высота равна 35.
Показать ответ
б) arctg (10√2/3)
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 6; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−6h/7; 6h/7; −3a/2), поэтому тангенс угла с основанием равен 4√2·35/(7·6), то есть угол равен arctg (10√2/3).
Пример 2
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F — середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 2, а высота равна 14.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 2, а высота равна 14.
Показать ответ
б) arctg 4√2
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−6h/7; 6h/7; −3a/2), поэтому тангенс угла с основанием равен 4√2·14/(7·2), то есть угол равен arctg 4√2.
Пример 3
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F — середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 2, а высота равна 35.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 2, а высота равна 35.
Показать ответ
б) arctg 10√2
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−6h/7; 6h/7; −3a/2), поэтому тангенс угла с основанием равен 4√2·35/(7·2), то есть угол равен arctg 10√2.
Пример 4
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F — середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 3, а высота равна 28.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 3, а высота равна 28.
Показать ответ
б) arctg (16√2/3)
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−6h/7; 6h/7; −3a/2), поэтому тангенс угла с основанием равен 4√2·28/(7·3), то есть угол равен arctg (16√2/3).
Пример 5
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F — середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 10, а высота равна 42.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 10, а высота равна 42.
Показать ответ
б) arctg (12√2/5)
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(10; 0; 0), D(0; 10; 0) нормаль плоскости α пропорциональна (−6h/7; 6h/7; −3a/2), поэтому тангенс угла с основанием равен 4√2·42/(7·10), то есть угол равен arctg (12√2/5).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.