Прямая призма с прямым углом: объём AA₁C₁B — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны 30 и 18 соответственно, AB = 25.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
Показать ответ
б) 140√11
Решение
Высота призмы равна √(302 − 252) = 5√11, откуда BC = 7 и AC = 24. Так как A1C1 ⊥ CC1 и A1C1 ⊥ B1C1, прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BCC1B1, значит ∠BC1A1 = 90°. Объём пирамиды равен ⅙·AC·BC·AA1 = 140√11.
Пример 2
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны 39 и 36 соответственно, AB = 25.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
Показать ответ
б) 400√14
Решение
Высота призмы равна √(392 − 252) = 8√14, откуда BC = 20 и AC = 15. Так как A1C1 ⊥ CC1 и A1C1 ⊥ B1C1, прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BCC1B1, значит ∠BC1A1 = 90°. Объём пирамиды равен ⅙·AC·BC·AA1 = 400√14.
Пример 3
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны 15 и 9 соответственно, AB = 13.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
Показать ответ
б) 20√14
Решение
Высота призмы равна √(152 − 132) = 2√14, откуда BC = 5 и AC = 12. Так как A1C1 ⊥ CC1 и A1C1 ⊥ B1C1, прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BCC1B1, значит ∠BC1A1 = 90°. Объём пирамиды равен ⅙·AC·BC·AA1 = 20√14.
Пример 4
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны 20 и 16 соответственно, AB = 13.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
Показать ответ
б) 10√231
Решение
Высота призмы равна √(202 − 132) = √231, откуда BC = 5 и AC = 12. Так как A1C1 ⊥ CC1 и A1C1 ⊥ B1C1, прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BCC1B1, значит ∠BC1A1 = 90°. Объём пирамиды равен ⅙·AC·BC·AA1 = 10√231.
Пример 5
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны 26 и 10 соответственно, AB = 25.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
Показать ответ
б) 28√51
Решение
Высота призмы равна √(262 − 252) = √51, откуда BC = 7 и AC = 24. Так как A1C1 ⊥ CC1 и A1C1 ⊥ B1C1, прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BCC1B1, значит ∠BC1A1 = 90°. Объём пирамиды равен ⅙·AC·BC·AA1 = 28√51.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.