Прямоугольник в основании: угол SC и BD — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между прямыми. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 15 и BC = 12. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3√5, SB = 3√30, SD = 3√21.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Показать ответ
б) arctg (19√5/9)
Решение
Из SB2 = SA2 + AB2 следует SA ⊥ AB, из SD2 = SA2 + AD2 — SA ⊥ AD, поэтому SA — высота. В координатах A(0; 0; 0), B(15; 0; 0), D(0; 12; 0), S(0; 0; SA) косинус угла между SC и BD даёт arctg (19√5/9).
Пример 2
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 9 и BC = 9. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 2√11, SB = 5√5, SD = 5√5.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Показать ответ
б) 90°
Решение
Из SB2 = SA2 + AB2 следует SA ⊥ AB, из SD2 = SA2 + AD2 — SA ⊥ AD, поэтому SA — высота. В координатах A(0; 0; 0), B(9; 0; 0), D(0; 9; 0), S(0; 0; SA) косинус угла между SC и BD даёт 90°.
Пример 3
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3√2, SB = 3√3, SD = 3√3.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Показать ответ
б) 90°
Решение
Из SB2 = SA2 + AB2 следует SA ⊥ AB, из SD2 = SA2 + AD2 — SA ⊥ AD, поэтому SA — высота. В координатах A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; SA) косинус угла между SC и BD даёт 90°.
Пример 4
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 8. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 4√7, SB = 4√11, SD = 4√11.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Показать ответ
б) 90°
Решение
Из SB2 = SA2 + AB2 следует SA ⊥ AB, из SD2 = SA2 + AD2 — SA ⊥ AD, поэтому SA — высота. В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 8; 0), S(0; 0; SA) косинус угла между SC и BD даёт 90°.
Пример 5
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 16 и BC = 4. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 8√2, SB = 8√6, SD = 12.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Показать ответ
б) arctg (2√2/3)
Решение
Из SB2 = SA2 + AB2 следует SA ⊥ AB, из SD2 = SA2 + AD2 — SA ⊥ AD, поэтому SA — высота. В координатах A(0; 0; 0), B(16; 0; 0), D(0; 4; 0), S(0; 0; SA) косинус угла между SC и BD даёт arctg (2√2/3).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.