Ромб 120°, грани — квадраты: A₁C и BD — задание 15 ЕГЭ по профильной математике с ответами

Пример 1

Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — ромб ABCD с углом 120° при вершине D, а боковые грани призмы — квадраты.

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания призмы равна 4.

Показать ответ

б) 3

Решение

BD ⊥ AC и BD ⊥ AA₁, поэтому BD ⊥ (ACC₁A₁) и BD ⊥ A₁C. Общий перпендикуляр лежит в плоскости ACC₁A₁; его длина равна 3.

Пример 2

Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — ромб ABCD с углом 120° при вершине D, а боковые грани призмы — квадраты.

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания призмы равна 6.

Показать ответ

б) 9/2

Решение

BD ⊥ AC и BD ⊥ AA₁, поэтому BD ⊥ (ACC₁A₁) и BD ⊥ A₁C. Общий перпендикуляр лежит в плоскости ACC₁A₁; его длина равна 9/2.

Пример 3

Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — ромб ABCD с углом 120° при вершине D, а боковые грани призмы — квадраты.

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания призмы равна 14.

Показать ответ

б) 7√3/2

Решение

BD ⊥ AC и BD ⊥ AA₁, поэтому BD ⊥ (ACC₁A₁) и BD ⊥ A₁C. Общий перпендикуляр лежит в плоскости ACC₁A₁; его длина равна 7√3/2.

Пример 4

Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — ромб ABCD с углом 120° при вершине D, а боковые грани призмы — квадраты.

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания призмы равна 3.

Показать ответ

б) 9/4

Решение

BD ⊥ AC и BD ⊥ AA₁, поэтому BD ⊥ (ACC₁A₁) и BD ⊥ A₁C. Общий перпендикуляр лежит в плоскости ACC₁A₁; его длина равна 9/4.

Пример 5

Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — ромб ABCD с углом 120° при вершине D, а боковые грани призмы — квадраты.

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания призмы равна 20.

Показать ответ

б) 5√3

Решение

BD ⊥ AC и BD ⊥ AA₁, поэтому BD ⊥ (ACC₁A₁) и BD ⊥ A₁C. Общий перпендикуляр лежит в плоскости ACC₁A₁; его длина равна 5√3.

Другие темы задания №15

1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника 2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC 3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб 4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей 5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник 6Треугольная призма: сечение — пятиугольник 7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения 8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁ 9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения 10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения 12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения

Ромб 120°, грани — квадраты: A₁C и BD — задание 15 ЕГЭ по профильной математике

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Другие темы задания №15

Нужен репетитор по математике?

Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore