Ромб в основании, AB = AA₁: объём призмы — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 16.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 16.
Показать ответ
б) 2048√6/5
Решение
Диагональ BD перпендикулярна AC и AA1, значит BD ⊥ (ACC1A1) и BD ⊥ A1C. Обозначив сторону ромба s, из A1C2 = AC2 + s2 и AC2 + BD2 = 4s2 получаем s2 = 2·162/5. Объём равен ½·AC·BD·AA1 = 2048√6/5.
Пример 2
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 2.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 2.
Показать ответ
б) 4√6/5
Решение
Диагональ BD перпендикулярна AC и AA1, значит BD ⊥ (ACC1A1) и BD ⊥ A1C. Обозначив сторону ромба s, из A1C2 = AC2 + s2 и AC2 + BD2 = 4s2 получаем s2 = 2·22/5. Объём равен ½·AC·BD·AA1 = 4√6/5.
Пример 3
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 15.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 15.
Показать ответ
б) 675√6/2
Решение
Диагональ BD перпендикулярна AC и AA1, значит BD ⊥ (ACC1A1) и BD ⊥ A1C. Обозначив сторону ромба s, из A1C2 = AC2 + s2 и AC2 + BD2 = 4s2 получаем s2 = 2·152/5. Объём равен ½·AC·BD·AA1 = 675√6/2.
Пример 4
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 11.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 11.
Показать ответ
б) 1331√6/10
Решение
Диагональ BD перпендикулярна AC и AA1, значит BD ⊥ (ACC1A1) и BD ⊥ A1C. Обозначив сторону ромба s, из A1C2 = AC2 + s2 и AC2 + BD2 = 4s2 получаем s2 = 2·112/5. Объём равен ½·AC·BD·AA1 = 1331√6/10.
Пример 5
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 4.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A1C = BD = 4.
Показать ответ
б) 32√6/5
Решение
Диагональ BD перпендикулярна AC и AA1, значит BD ⊥ (ACC1A1) и BD ⊥ A1C. Обозначив сторону ромба s, из A1C2 = AC2 + s2 и AC2 + BD2 = 4s2 получаем s2 = 2·42/5. Объём равен ½·AC·BD·AA1 = 32√6/5.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.