Сечение через BD₁ ∥ AC — ромб: угол с BCC₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между плоскостями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 15, AB = 4.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 15, AB = 4.
Показать ответ
б) arctg (17/15)
Решение
Сечение — ромб, значит его диагонали перпендикулярны, откуда AB = AD и ABCD — квадрат. В координатах A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), D(0; 4; 0), AA1 = 15 нормаль плоскости α равна (−15; 15; −8), нормаль грани BCC1 — (1; 0; 0). Отсюда искомый угол равен arctg (17/15).
Пример 2
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 12, AB = 8.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 12, AB = 8.
Показать ответ
б) arctg (5/3)
Решение
Сечение — ромб, значит его диагонали перпендикулярны, откуда AB = AD и ABCD — квадрат. В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 8; 0), AA1 = 12 нормаль плоскости α равна (−12; 12; −16), нормаль грани BCC1 — (1; 0; 0). Отсюда искомый угол равен arctg (5/3).
Пример 3
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 8, AB = 3.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 8, AB = 3.
Показать ответ
б) arctg (5/4)
Решение
Сечение — ромб, значит его диагонали перпендикулярны, откуда AB = AD и ABCD — квадрат. В координатах A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0), AA1 = 8 нормаль плоскости α равна (−8; 8; −6), нормаль грани BCC1 — (1; 0; 0). Отсюда искомый угол равен arctg (5/4).
Пример 4
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 16, AB = 15.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 16, AB = 15.
Показать ответ
б) arctg (17/8)
Решение
Сечение — ромб, значит его диагонали перпендикулярны, откуда AB = AD и ABCD — квадрат. В координатах A(0; 0; 0), B(15; 0; 0), D(0; 15; 0), AA1 = 16 нормаль плоскости α равна (−16; 16; −30), нормаль грани BCC1 — (1; 0; 0). Отсюда искомый угол равен arctg (17/8).
Пример 5
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 7, AB = 12.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 7, AB = 12.
Показать ответ
б) arctg (25/7)
Решение
Сечение — ромб, значит его диагонали перпендикулярны, откуда AB = AD и ABCD — квадрат. В координатах A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), D(0; 12; 0), AA1 = 7 нормаль плоскости α равна (−7; 7; −24), нормаль грани BCC1 — (1; 0; 0). Отсюда искомый угол равен arctg (25/7).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.