Трапеция в основании, две грани ⊥ основанию: объём PKBC — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём ∠BAD + ∠ADC = 90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота пирамиды равна 20.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота пирамиды равна 20.
Показать ответ
б) 20/3
Решение
Так как обе плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию и пересекаются по прямой PK, эта прямая — высота пирамиды, а ∠AKD = 180° − (∠BAD + ∠ADC) = 90°, поэтому плоскости PAB и PCD перпендикулярны. Из подобия KB = KC = 2/√2, и объём равен ⅓ · ½ · KB · KC · PK = 20/3.
Пример 2
Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём ∠BAD + ∠ADC = 90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 8, а высота пирамиды равна 7.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 8, а высота пирамиды равна 7.
Показать ответ
б) 112/3
Решение
Так как обе плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию и пересекаются по прямой PK, эта прямая — высота пирамиды, а ∠AKD = 180° − (∠BAD + ∠ADC) = 90°, поэтому плоскости PAB и PCD перпендикулярны. Из подобия KB = KC = 8/√2, и объём равен ⅓ · ½ · KB · KC · PK = 112/3.
Пример 3
Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём ∠BAD + ∠ADC = 90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 7, а высота пирамиды равна 10.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 7, а высота пирамиды равна 10.
Показать ответ
б) 245/6
Решение
Так как обе плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию и пересекаются по прямой PK, эта прямая — высота пирамиды, а ∠AKD = 180° − (∠BAD + ∠ADC) = 90°, поэтому плоскости PAB и PCD перпендикулярны. Из подобия KB = KC = 7/√2, и объём равен ⅓ · ½ · KB · KC · PK = 245/6.
Пример 4
Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём ∠BAD + ∠ADC = 90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 7, а высота пирамиды равна 3.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 7, а высота пирамиды равна 3.
Показать ответ
б) 49/4
Решение
Так как обе плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию и пересекаются по прямой PK, эта прямая — высота пирамиды, а ∠AKD = 180° − (∠BAD + ∠ADC) = 90°, поэтому плоскости PAB и PCD перпендикулярны. Из подобия KB = KC = 7/√2, и объём равен ⅓ · ½ · KB · KC · PK = 49/4.
Пример 5
Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём ∠BAD + ∠ADC = 90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 5, а высота пирамиды равна 20.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 5, а высота пирамиды равна 20.
Показать ответ
б) 125/3
Решение
Так как обе плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию и пересекаются по прямой PK, эта прямая — высота пирамиды, а ∠AKD = 180° − (∠BAD + ∠ADC) = 90°, поэтому плоскости PAB и PCD перпендикулярны. Из подобия KB = KC = 5/√2, и объём равен ⅓ · ½ · KB · KC · PK = 125/3.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.