Угол между ABC и A₁DB — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между плоскостями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 15, AD = 8, CC1 = 36.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Показать ответ
б) arctg (51/10)
Решение
Так как AA1 ⊥ (ABC), по теореме о трёх перпендикулярах A1H ⊥ BD ровно тогда, когда AH ⊥ BD, — основание H общее. Тогда искомый угол равен ∠A1HA, а tg ∠A1HA = AA1 : AH = 36 · √(152 + 82) / (15 · 8), то есть угол равен arctg (51/10).
Пример 2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 3, AD = 4, CC1 = 22.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Показать ответ
б) arctg (55/6)
Решение
Так как AA1 ⊥ (ABC), по теореме о трёх перпендикулярах A1H ⊥ BD ровно тогда, когда AH ⊥ BD, — основание H общее. Тогда искомый угол равен ∠A1HA, а tg ∠A1HA = AA1 : AH = 22 · √(32 + 42) / (3 · 4), то есть угол равен arctg (55/6).
Пример 3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 5, AD = 12, CC1 = 4.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Показать ответ
б) arctg (13/15)
Решение
Так как AA1 ⊥ (ABC), по теореме о трёх перпендикулярах A1H ⊥ BD ровно тогда, когда AH ⊥ BD, — основание H общее. Тогда искомый угол равен ∠A1HA, а tg ∠A1HA = AA1 : AH = 4 · √(52 + 122) / (5 · 12), то есть угол равен arctg (13/15).
Пример 4
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 32, AD = 24, CC1 = 15.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Показать ответ
б) arctg (25/32)
Решение
Так как AA1 ⊥ (ABC), по теореме о трёх перпендикулярах A1H ⊥ BD ровно тогда, когда AH ⊥ BD, — основание H общее. Тогда искомый угол равен ∠A1HA, а tg ∠A1HA = AA1 : AH = 15 · √(322 + 242) / (32 · 24), то есть угол равен arctg (25/32).
Пример 5
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 24, AD = 10, CC1 = 6.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Показать ответ
б) arctg (13/20)
Решение
Так как AA1 ⊥ (ABC), по теореме о трёх перпендикулярах A1H ⊥ BD ровно тогда, когда AH ⊥ BD, — основание H общее. Тогда искомый угол равен ∠A1HA, а tg ∠A1HA = AA1 : AH = 6 · √(242 + 102) / (24 · 10), то есть угол равен arctg (13/20).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.