Угол между SC и плоскостью ASB — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Угол между прямой и плоскостью. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 7 и BC = 9. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √23, SB = 6√2, SD = 2√26.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Показать ответ
б) arctg (3√2/4)
Решение
SA — высота (обратные теоремы Пифагора в треугольниках SAB и SAD). Так как BC ⊥ AB и BC ⊥ SA, то BC ⊥ (ASB), поэтому проекция SC на плоскость ASB — это SB, и синус искомого угла равен BC : SC = 9/3√17, то есть угол равен arctg (3√2/4).
Пример 2
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 15 и BC = 11. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5√2, SB = 5√11, SD = 3√19.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Показать ответ
б) arctg (√11/5)
Решение
SA — высота (обратные теоремы Пифагора в треугольниках SAB и SAD). Так как BC ⊥ AB и BC ⊥ SA, то BC ⊥ (ASB), поэтому проекция SC на плоскость ASB — это SB, и синус искомого угла равен BC : SC = 11/6√11, то есть угол равен arctg (√11/5).
Пример 3
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 9. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 6√3, SB = 3√13, SD = 3√21.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Показать ответ
б) arctg (3√13/13)
Решение
SA — высота (обратные теоремы Пифагора в треугольниках SAB и SAD). Так как BC ⊥ AB и BC ⊥ SA, то BC ⊥ (ASB), поэтому проекция SC на плоскость ASB — это SB, и синус искомого угла равен BC : SC = 9/3√22, то есть угол равен arctg (3√13/13).
Пример 4
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3√2, SB = 3√3, SD = 3√6.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Показать ответ
б) arctg (2√3/3)
Решение
SA — высота (обратные теоремы Пифагора в треугольниках SAB и SAD). Так как BC ⊥ AB и BC ⊥ SA, то BC ⊥ (ASB), поэтому проекция SC на плоскость ASB — это SB, и синус искомого угла равен BC : SC = 6/3√7, то есть угол равен arctg (2√3/3).
Пример 5
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 13. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3√3, SB = 6, SD = 14.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Показать ответ
б) arctg (13/6)
Решение
SA — высота (обратные теоремы Пифагора в треугольниках SAB и SAD). Так как BC ⊥ AB и BC ⊥ SA, то BC ⊥ (ASB), поэтому проекция SC на плоскость ASB — это SB, и синус искомого угла равен BC : SC = 13/√205, то есть угол равен arctg (13/6).
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.