Высота из середины медианы CM: объём — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 19, SC = 15. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 9.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Показать ответ
б) 144√34
Решение
Пусть N — середина CM и SN — высота. Из SA = SB следует NA = NB, то есть N лежит на серединном перпендикуляре к AB, а значит CA = CB. Далее NC2 = SC2 − SN2 даёт CM = 24, а NA2 = SA2 − SN2 даёт AB = 4√34. Объём = ⅓ · ½ · AB · CM · SN = 144√34.
Пример 2
В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 25, SC = 15. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 9.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Показать ответ
б) 1440
Решение
Пусть N — середина CM и SN — высота. Из SA = SB следует NA = NB, то есть N лежит на серединном перпендикуляре к AB, а значит CA = CB. Далее NC2 = SC2 − SN2 даёт CM = 24, а NA2 = SA2 − SN2 даёт AB = 40. Объём = ⅓ · ½ · AB · CM · SN = 1440.
Пример 3
В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 9, SC = 5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Показать ответ
б) 16√14
Решение
Пусть N — середина CM и SN — высота. Из SA = SB следует NA = NB, то есть N лежит на серединном перпендикуляре к AB, а значит CA = CB. Далее NC2 = SC2 − SN2 даёт CM = 6, а NA2 = SA2 − SN2 даёт AB = 4√14. Объём = ⅓ · ½ · AB · CM · SN = 16√14.
Пример 4
В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 18, SC = 13. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Показать ответ
б) 40√155
Решение
Пусть N — середина CM и SN — высота. Из SA = SB следует NA = NB, то есть N лежит на серединном перпендикуляре к AB, а значит CA = CB. Далее NC2 = SC2 − SN2 даёт CM = 10, а NA2 = SA2 − SN2 даёт AB = 2√155. Объём = ⅓ · ½ · AB · CM · SN = 40√155.
Пример 5
В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 18, SC = 15. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Показать ответ
б) 216√11
Решение
Пусть N — середина CM и SN — высота. Из SA = SB следует NA = NB, то есть N лежит на серединном перпендикуляре к AB, а значит CA = CB. Далее NC2 = SC2 − SN2 даёт CM = 18, а NA2 = SA2 − SN2 даёт AB = 6√11. Объём = ⅓ · ½ · AB · CM · SN = 216√11.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.