|1−k√x| = m(x+a) — ровно два корня при a > 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
|1 − 8| = x + a
имеет ровно два корня.
|1 − 8| = x + a
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(1; 15)
Решение
Обозначим u = √x ≥ 0, тогда x = u2 и разным u ≥ 0 отвечают разные x. Уравнение принимает вид |1 − 8u| = u2 + a.
При u ≤ 1/8 модуль раскрывается со знаком «+»: u2 + 8u + a − 1 = 0.
При u > 1/8 — со знаком «−»: u2 − 8u + a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 64 − 4(a − 1) и 64 − 4(a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/8 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1; 15).
При u ≤ 1/8 модуль раскрывается со знаком «+»: u2 + 8u + a − 1 = 0.
При u > 1/8 — со знаком «−»: u2 − 8u + a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 64 − 4(a − 1) и 64 − 4(a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/8 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1; 15).
Пример 2
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
|1 − 5| = x + a
имеет ровно два корня.
|1 − 5| = x + a
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(1; 21/4)
Решение
Обозначим u = √x ≥ 0, тогда x = u2 и разным u ≥ 0 отвечают разные x. Уравнение принимает вид |1 − 5u| = u2 + a.
При u ≤ 1/5 модуль раскрывается со знаком «+»: u2 + 5u + a − 1 = 0.
При u > 1/5 — со знаком «−»: u2 − 5u + a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 25 − 4(a − 1) и 25 − 4(a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/5 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1; 21/4).
При u ≤ 1/5 модуль раскрывается со знаком «+»: u2 + 5u + a − 1 = 0.
При u > 1/5 — со знаком «−»: u2 − 5u + a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 25 − 4(a − 1) и 25 − 4(a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/5 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1; 21/4).
Пример 3
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
|1 − 8| = 2(x + a)
имеет ровно два корня.
|1 − 8| = 2(x + a)
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(1/2; 7/2)
Решение
Обозначим u = √x ≥ 0, тогда x = u2 и разным u ≥ 0 отвечают разные x. Уравнение принимает вид |1 − 8u| = 2(u2 + a).
При u ≤ 1/8 модуль раскрывается со знаком «+»: 2u2 + 8u + 2a − 1 = 0.
При u > 1/8 — со знаком «−»: 2u2 − 8u + 2a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 64 − 8(2a − 1) и 64 − 8(2a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/8 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1/2; 7/2).
При u ≤ 1/8 модуль раскрывается со знаком «+»: 2u2 + 8u + 2a − 1 = 0.
При u > 1/8 — со знаком «−»: 2u2 − 8u + 2a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 64 − 8(2a − 1) и 64 − 8(2a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/8 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1/2; 7/2).
Пример 4
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
|1 − 8| = 4(x + a)
имеет ровно два корня.
|1 − 8| = 4(x + a)
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(1/4; 3/4)
Решение
Обозначим u = √x ≥ 0, тогда x = u2 и разным u ≥ 0 отвечают разные x. Уравнение принимает вид |1 − 8u| = 4(u2 + a).
При u ≤ 1/8 модуль раскрывается со знаком «+»: 4u2 + 8u + 4a − 1 = 0.
При u > 1/8 — со знаком «−»: 4u2 − 8u + 4a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 64 − 16(4a − 1) и 64 − 16(4a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/8 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1/4; 3/4).
При u ≤ 1/8 модуль раскрывается со знаком «+»: 4u2 + 8u + 4a − 1 = 0.
При u > 1/8 — со знаком «−»: 4u2 − 8u + 4a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 64 − 16(4a − 1) и 64 − 16(4a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/8 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1/4; 3/4).
Пример 5
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
|1 − 6| = x + a
имеет ровно два корня.
|1 − 6| = x + a
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(1; 8)
Решение
Обозначим u = √x ≥ 0, тогда x = u2 и разным u ≥ 0 отвечают разные x. Уравнение принимает вид |1 − 6u| = u2 + a.
При u ≤ 1/6 модуль раскрывается со знаком «+»: u2 + 6u + a − 1 = 0.
При u > 1/6 — со знаком «−»: u2 − 6u + a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 36 − 4(a − 1) и 36 − 4(a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/6 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1; 8).
При u ≤ 1/6 модуль раскрывается со знаком «+»: u2 + 6u + a − 1 = 0.
При u > 1/6 — со знаком «−»: u2 − 6u + a + 1 = 0.
Дискриминанты равны 36 − 4(a − 1) и 36 − 4(a + 1), а конфигурация меняется ещё и когда корень попадает на границу u = 1/6 или в u = 0.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями и оставляя только положительные a, получаем ответ.
Ответ: (1; 8).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.