Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 + 6x − 4ax2 − 12x + a2 − 16a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 + 6x − 4ax2 − 12x + a2 − 16a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−9/4; 0) ∪ (0; 18) ∪ (18; +∞)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 9 + 4a > 0 ⟺ a ∈ (−9/4; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 18x − 4a − a2 + 16a = 0, то есть x = (a2 − 12a)/18; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 18.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−9/4; 0) ∪ (0; 18) ∪ (18; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 18x − 4a − a2 + 16a = 0, то есть x = (a2 − 12a)/18; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 18.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−9/4; 0) ∪ (0; 18) ∪ (18; +∞).
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2x − 2ax2 − 6x + a2 − 2a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 + 2x − 2ax2 − 6x + a2 − 2a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−1/2; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; +∞)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 1 + 2a > 0 ⟺ a ∈ (−1/2; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 8x − 2a − a2 + 2a = 0, то есть x = (a2)/8; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 4.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−1/2; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 8x − 2a − a2 + 2a = 0, то есть x = (a2)/8; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 4.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−1/2; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; +∞).
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 + 12x − 2ax2 − 2x + a2 − 14a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 + 12x − 2ax2 − 2x + a2 − 14a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−18; 0) ∪ (0; 14) ∪ (14; +∞)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 36 + 2a > 0 ⟺ a ∈ (−18; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 14x − 2a − a2 + 14a = 0, то есть x = (a2 − 12a)/14; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 14.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−18; 0) ∪ (0; 14) ∪ (14; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 14x − 2a − a2 + 14a = 0, то есть x = (a2 − 12a)/14; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 14.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−18; 0) ∪ (0; 14) ∪ (14; +∞).
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 + 4x − 2ax2 − 8x + a2 − 4a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 + 4x − 2ax2 − 8x + a2 − 4a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−2; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; +∞)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 4 + 2a > 0 ⟺ a ∈ (−2; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 12x − 2a − a2 + 4a = 0, то есть x = (a2 − 2a)/12; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 6.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 12x − 2a − a2 + 4a = 0, то есть x = (a2 − 2a)/12; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 6.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; +∞).
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 + 8x − 4ax2 − 10x + a2 − 10a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 + 8x − 4ax2 − 10x + a2 − 10a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−4; 0) ∪ (0; 12) ∪ (12; +∞)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 16 + 4a > 0 ⟺ a ∈ (−4; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 18x − 4a − a2 + 10a = 0, то есть x = (a2 − 6a)/18; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 12.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 12) ∪ (12; +∞).
Совпадение корня с полюсом: вычитая знаменатель из числителя, получаем 18x − 4a − a2 + 10a = 0, то есть x = (a2 − 6a)/18; подстановка в знаменатель даёт a = 0, a = 12.
Эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 12) ∪ (12; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.