Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
16x2 − a24x − 4 − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
16x2 − a24x − 4 − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
16x2 = a2 ⟺ x = a/4 или x = −a/4; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (4 + 3a)/4. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/4 = (4 + 3a)/4 ⟺ a(4 − 12) = 16 ⟺ a = −2;
−a/4 = (4 + 3a)/4 ⟺ −a(4 + 12) = 16 ⟺ a = −1.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; +∞).
16x2 = a2 ⟺ x = a/4 или x = −a/4; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (4 + 3a)/4. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/4 = (4 + 3a)/4 ⟺ a(4 − 12) = 16 ⟺ a = −2;
−a/4 = (4 + 3a)/4 ⟺ −a(4 + 12) = 16 ⟺ a = −1.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; +∞).
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
16x2 − a24x − 12 − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
16x2 − a24x − 12 − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −6) ∪ (−6; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
16x2 = a2 ⟺ x = a/4 или x = −a/4; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (12 + 3a)/4. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/4 = (12 + 3a)/4 ⟺ a(4 − 12) = 48 ⟺ a = −6;
−a/4 = (12 + 3a)/4 ⟺ −a(4 + 12) = 48 ⟺ a = −3.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −6) ∪ (−6; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞).
16x2 = a2 ⟺ x = a/4 или x = −a/4; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (12 + 3a)/4. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/4 = (12 + 3a)/4 ⟺ a(4 − 12) = 48 ⟺ a = −6;
−a/4 = (12 + 3a)/4 ⟺ −a(4 + 12) = 48 ⟺ a = −3.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −6) ∪ (−6; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞).
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
9x2 − a23x − 8 − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
9x2 − a23x − 8 − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −4) ∪ (−4; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (0; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
9x2 = a2 ⟺ x = a/3 или x = −a/3; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (8 + 3a)/3. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/3 = (8 + 3a)/3 ⟺ a(3 − 9) = 24 ⟺ a = −4;
−a/3 = (8 + 3a)/3 ⟺ −a(3 + 9) = 24 ⟺ a = −2.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −4) ∪ (−4; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (0; +∞).
9x2 = a2 ⟺ x = a/3 или x = −a/3; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (8 + 3a)/3. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/3 = (8 + 3a)/3 ⟺ a(3 − 9) = 24 ⟺ a = −4;
−a/3 = (8 + 3a)/3 ⟺ −a(3 + 9) = 24 ⟺ a = −2.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −4) ∪ (−4; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (0; +∞).
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
25x2 − a25x − 12 − 2a = 0
имеет ровно два различных решения.
25x2 − a25x − 12 − 2a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −12) ∪ (−12; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
25x2 = a2 ⟺ x = a/5 или x = −a/5; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (12 + 2a)/5. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/5 = (12 + 2a)/5 ⟺ a(5 − 10) = 60 ⟺ a = −12;
−a/5 = (12 + 2a)/5 ⟺ −a(5 + 10) = 60 ⟺ a = −4.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −12) ∪ (−12; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; +∞).
25x2 = a2 ⟺ x = a/5 или x = −a/5; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = (12 + 2a)/5. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/5 = (12 + 2a)/5 ⟺ a(5 − 10) = 60 ⟺ a = −12;
−a/5 = (12 + 2a)/5 ⟺ −a(5 + 10) = 60 ⟺ a = −4.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −12) ∪ (−12; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; +∞).
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
9x2 − a2x − 4 − a = 0
имеет ровно два различных решения.
9x2 − a2x − 4 − a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −6) ∪ (−6; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
9x2 = a2 ⟺ x = a/3 или x = −a/3; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = 4 + a. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/3 = 4 + a ⟺ a(1 − 3) = 12 ⟺ a = −6;
−a/3 = 4 + a ⟺ −a(1 + 3) = 12 ⟺ a = −3.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −6) ∪ (−6; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞).
9x2 = a2 ⟺ x = a/3 или x = −a/3; эти корни различны ровно при a ≠ 0.
Знаменатель обращается в нуль при x = 4 + a. Корень теряется, когда он совпадает с полюсом:
a/3 = 4 + a ⟺ a(1 − 3) = 12 ⟺ a = −6;
−a/3 = 4 + a ⟺ −a(1 + 3) = 12 ⟺ a = −3.
При этих a остаётся один корень, при a = 0 — тоже один (двойной x = 0).
Ответ: (−∞; −6) ∪ (−6; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞).
Другие темы задания №19
1Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 02Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 03(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний4Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 05Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 06Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 07Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.